Staðall (stærðfræði)

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Staðall (einnig nefndur norm) í stærðfræði á við tiltekið fall, táknað með ||•||, sem verkar á stök vigurrúms (vigra) og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn, en staðall hans er núll.

Efnisyfirlit

[breyta] Algengir staðlar vigurrúma

\|\mathbf{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.

er algengasti staðallinni í Rn. gefur stærð vigurs skv. reglu Pýþagórasar.

  • 1-staðllinn
\|x\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.
  • p-staðallinn
\|x\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}

þar sem p≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)

  • Óendanlegi staðallinn
\|x\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).

[breyta] Línlegar varpanir

Fyrir sérhverja gagntæka, línulega vörpum A má reikna staðal staks x þannig:

\|Ax\|.

[breyta] Eiginleikar staðla

Tveir staðlar ||•||α og ||•||β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.

C\|x\|_\alpha\leq\|x\|_\beta\leq D\|x\|_\alpha

fyrir öll x í V.

Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru l1, l2 og l_\infty staðlarnir jafngildir í \mathbb{R}^n:

\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt{n}\|x\|_2
\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt{n}\|x\|_\infty
\|x\|_\infty\le\|x\|_1\le n\|x\|_\infty

[breyta] Sjá einnig