Samfelldni
Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Samfelldni er mikilvægt hugtak í örsmæðarreikningi og grannfræði. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall f er samfellt í punkti y ef það er skilgreint í y og tölugildið |f(y) - f(x)| nálgist núll, þegar punkturinn x "stefni á" y. Annars er fallið sagt ósamfellt.
[breyta] Samfelldni raungilds falls
Raungilt fall
, sem skilgreint er á hlutmengi rauntalnanna, er sagt samfellt ef það hefur markgildi fyrir einhvern punkt y í iðri formengisins X og að markgildið
sé til og jafnt fallgildinu í y, þ.e.
.
[breyta] Samfelldni í grannrúmi
Fyrir almennt grannrúm gildir að fall
er samfellt þegar fyrir sérhvert opið mengi
gildir að f − 1(U) er opið í X. Segja má að f sé samfellt í punkti x ef um sérhverja grennd V um f(x) er til grennd U um x, þ.a.
.
[breyta] Samfelldni í firðrúmi
Ef(X,dx),(Y,dy) eru firðrúm er fallið f
sagt samfellt í x ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a.
.
Fyrir venjulegu firðina d(x,y) = |x - y| á rauntalnaásnum er skilgreiningin jafngild sígildri "ε − δ" skilgreiningu á samfelldni.

