Fibonacci runan

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Fibonacci runan er talnaruna sem fæst þannig að næsti liður rununnar er summa tveggja fyrri liða, en tveir fyrstu liðirnir eru talan einn. Tíu fyrstu liðirnir eru því: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 og 55. Eignuð stærðfræðingnum Leonardo Pisano. Runan svarar því hve mörg kanínupör eru til staðar á hverjum tíma, ef í upphafi er eitt par, sem í hverjum mánuði eignast eitt kanínupar, sem eftir mánuð eignast nýtt kanínupar og svo framvegis án þess að nokkru sinni deyji kanína. Leonardo leggur fram dæmið í bók sinni, Liber abaci, sem kom út árið 1202.

[breyta] Formleg skilgreining

Fibonacci tölur má skilgreina formlega með endurkvæmni (ítrekun) svona:  
  F_n := F(n):=
  \begin{cases}
    0             & \mbox{ef } n = 0; \\
    1             & \mbox{ef } n = 1; \\
    F(n-1)+F(n-2) & \mbox{ef } n > 1. \\
   \end{cases}


[breyta] Fibonaccitölur í náttúrunni

Fibonacci tölur er víða að finna í náttúrunni. Kanínu dæmið er oft nefnt í sambandi við Fibonacci tölur. Gefum okkur að við höfum kanínupar, sem sé 1 mánuð að verða kynþroska en eftir það eignast það annað kanínupar í hverjum mánuði. Ef við byrjum með 1 par þá erum við ennþá með 1 par eftir fyrsta tímabilið. Eftir næsta tímabil eignast það annað par (sem eignast ekki afkvæmi fyrr en eftir tvö tímabil) og þá erum við komin með 2 pör. Eftir þriðja tímabilið bætist við eitt nýtt par og við höfum þá 3 pör. Eftir eitt ár í viðbót eignast þau 2 pör sem voru til fyrir tveimur mánuðum (tímabilum) hvort sitt parið og þá höfum við 5 pör. Þetta gengur þannig fyrir sig að á hverju ári eykst fjöldi kanínupara um þann fjölda sem var til staðar fyrir 2ur mánuðum.

Fibonacci tölur má einnig finna víða annarsstaðar í náttúrunni. Fjöldi blaða á blómum er til dæmis oft fibonacci tala.


[breyta] Tengsl við gullinsnið

Ef mynduð er runa úr hlutföllum hverra tveggja samliggjandi Fibonacci talna, þá hefur sú runa markgildið 1,618 sem er kallað gullinsnið. Fyrstu tölurnar í þeirri runu eru 1; 2; 1.5; 1,667; 1,600; 1,625 og svo framvegis.