Cauchyruna

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Cauchyruna er runa í firðrúmi með þann eiginleika að ef bornir eru saman tveir samliggjandi liðir rununnar þá nálgast þeir hvorn annan meir og meri eftir því sem farið er lengra frá fyrsta lið rununnar. M.ö.o. ef valdir eru af handahófi tveir liðir Cauchyrununnar {xn}, segjum xi og xi+j, þá má alltaf finna tvo aðra liði sömu runu, t.d. xk og xk+m, þ.a. um firðirnar d gildi: d(xi , xi+j ) > d(xk , xk+m ), ef gefið er að k > i.

Skilgreining: Runan

x_1, x_2, x_3, \ldots

er Cauchyruna ef fyrir sérhverja jákvæða rauntölu ε > 0 er til náttúrleg tala N, þ.a. fyrir vísana m og n > N gildi:

|x_m - x_n| < \varepsilon.

Í fullkomnu firðrúmi hefur sérhver Cauchyruna markgildi í firðrúminu.