Breiðbogafall

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Breiðbogaföll eru keilusnið og því hliðstæð hornaföllum. Helstu breiðbogaföllinn kallast breiðbogasínus (e. hyperbolic sine, sinh) og breiðbogakosínus (e. hyperbolic cosine, cosh). Með þeim má svo mynda önnur breiðbogaföll og andhverfur líkt og gert er með hornaföllum. Talnatvenndinn (cosh(t), sinh(t)) lýsir hægri hluta breiðboga x2-y2 = 1 eins og (cos(t), sin(t)) lýsir hring. Breiðbogaföll eru mikilvæg þar sem þau birtast í lausnum margra línulegra deildajafna, svo sem lýsingum á keðjuferli og ýmsu öðru.

[breyta] Almenn skilgreining breiðbogafalla

sinh, cosh og tanh
sinh, cosh og tanh
csch, sech og coth
csch, sech og coth

Skilgreiningar breiðbogafalla eru eftirfarandi, þar sem i er þvertalan:

Breiðbogasínus:
\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix. \!
Breiðbogakósínus:
\cosh x =  \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix. \!
Breiðbogatangens:
\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix. \!
Breiðbogakótangens:
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i  \cot ix. \!
Breiðbogasniðill:
\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec ix. \!
Breiðbogakósniðill:
\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix. \!

[breyta] Sjá einnig

  • Keðjufall
  • Vísisfall

[breyta] Tenglar