프리드만 방정식
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프리드만 방정식은 아인슈타인의 중력 방정식으로부터 얻어지는 팽창하거나 수축하는 우주에 대한 식이다.
프리드만 방정식은 프리드만-로버트슨-워커 계량(Friedmann-Robertson-Walker metric)을 아인슈타인 방정식에 넣고 풀면 얻을 수 있다. c = 1,h = 1로 두는 자연단위계(natural unit)에서 프리드만 방정식은 다음과 같다.

여기에서 ρ는 우주에 있는 모든 물질의 밀도를 더한 값이며, Λ는 우주상수 (cosmological constant), K는 우주의 공간곡률(spatial curvature)이고, a는 우주의 상대적인 크기를 결정해주는 스케일 펙터(scale factor)이다. 즉, 이 방정식은 우주의 밀도와 곡률이 정해져 있을 때, 우주의 크기가 어떻게 변하는지를 기술한다.
[편집] 허블상수 H(t)
특히, 스케일 펙터의 변화율을 나타내는
는 허블상수, H(t), 인데, 허블상수는 우주 전체에 걸쳐 같은 값을 갖는다는 의미에서는 '상수'이지만, 일반적으로 시간의 함수이다. 허블은 1927년 멀리 있는 은하일수록, 우리 은하와 더 빠른 속도로 멀어지며, 그 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 허블의 법칙을 발견했는데, 이를 수식으로 표현하면,

이고, 여기에서 은하가 멀어지는 속도와 거리 사이의 비례상수 H가 바로 허블상수 이다. 이는 균일하고(homogeneous), 등방적이며,(isotropic) 팽창하고 있는 우주에서 성립하는 일반적인 관계식으로써 다음과 같이 증명된다. 우주의 팽창을 따라가며 그 간격이 멀어지는 좌표계(comoving coordinate)에서 정의된 위치 벡터를
라고 하자. 좌표
과,
에 위치한 두 은하를 생각하자. 시간 t 일때 두 은하 사이의 거리는

로 주어지고, 은하가 멀어지는 속도는 이 거리의 미분으로 구할 수 있다.


