# 다항식

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다항식 (多項式, polynomial)은 대수학에서 중요하게 다루어지는 수학적 개념으로 역사적으로도 현대대수학의 성립에 큰 역할을 했다.

다항식은

  3x3 − 7x2 + 2x + 23

과 같은 형태의 식을 말한다. 각각의 「3x3」, 「-7x2」, 「2x」, 「23」을 항 (項, term)이라 부르고, 여러 개의 항으로 이루어졌기 때문에 다항식이라고 부른다.

다항식이 주어졌을 때, 그 계수들과의 이항연산이 정의된 집합이 있으면, 그 집합의 원소를 대입하여 식을 계산할 수 있고, 이렇게 하여 집합 자신으로의 함수를 만들 수 있다.

그 실례로, 위 예의 다항식이 주어졌고, 집합 A = {a, b, c}가 주어졌다고 하고, 다항식의 계수와 집합 A와의 이항연산이 특별히 주어지지 않았다고 하면, x에 A의 어떤 원소를 대입한다고 해도, 식은 어떤 특정 값을 내놓지 못하여 함수의 의미를 갖지 못한다. 그러나, A 대신에 자연수의 집합이 주어진다면, 모든 자연수와 위 다항식의 계수와의 곱셈이 정의되어 있기 때문에 다항식은 각 자연수에 대해 어떤 자연수로의 대응을 나타내게 되어 다항식은 자연수 집합으로의 함수를 정의하게 된다.

## [편집] 상수 계수 1변수 다항식

x 를 변수, n을 음이 아닌 정수라고 할 때, a0, a1, ..., an 을 n+1 개의 실수 혹은 복소수 상수라고 하자. 이러한 x 와 {ai}0 ≤ i ≤ n 에 의해 다음과 같이 표현되는 것은 다항식이다.

  anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0

- f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 로 두자. 이 때, am ≠ 0 이 되는 최대의 m 을 이 다항식의 차수라고 부르며 deg f 로 표기한다.
- 각 aixi 를 이 다항식의 항이라 부르며, i 를 그 항의 차수라고 부른다. 혹은 다르게 표현하여, 이 다항식의 i 차 항은 aixi 라고 말하기도 한다.
- 각 상수 ai 를 이 다항식의 계수(係数, coefficient)라고 부른다. 특히 am (m = deg f) 를 이 다항식의 최고차계수(最高次係数, leading coefficent)라고 부른다.
- 0 차항 a0 를 상수항(常數項)이라고 부른다. 상수 하나는 상수항밖에 없는 다항식으로 볼 수도 있다. 차수의 정의로부터 0이 아닌 상수항만으로 구성된 다항식의 차수는 0이 된다. 그러나, 상수 0을 다항식으로 볼 때에는 편의상 차수를 - ∞로 정의한다.

다항식은 합의 기호 ∑ 를 사용하여

로 쓸 수도 있다. 이 때에 x0 는 1 을 말한다.

계수가 속한 집합이 K 인, x 를 변수로 하는 다항식 전체의 집합을 K[x] 로 표기한다. 예를 들어 실계수 다항식 전체의 집합은 R[x], 복소수계수 다항식 전체의 집합은 C[x] 등으로 표기한다.

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org../../../%EB%8B%A4/%ED%95%AD/%EC%8B%9D/%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D.html’

분류: 다항식 | 추상대수학 | 복소해석학 | 수치 해석

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