# 다양체

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이 문서는 위상수학에 관한 것입니다. 대수기하학에서 다루는 대상에 대해서는 대수다양체 문서를 참고하십시오.

다양체(多樣體) 혹은 매니폴드(manifold)는 '국소적으로' 유클리드 공간과 닮은 도형을 말한다. 원이나 구, 다각형, 다면체등은 (성질은 각기 다르지만) 모두 다양체이다. 예를 들어, 구는 충분히 가까이에서 보면 평면, 즉 2차원 유클리드 공간처럼 보인다. 이것은 중세 이전(고대 그리스를 제외하고)에 지구가 평평하다고 생각했던 것을 생각하면 이해하기 쉬울 것이다. 직관적으로 전혀 떠올리기 힘든 집합도 다양체로 취급하여, 기하학적으로 다루는 경우가 있다. 물론, 다양체가 아닌 도형(예를 들면, 페아노곡선, 프랙탈)도 있다.

## [편집] 정의

M 을 위상공간(하우스도르프공간)이라 하자. M 의 임의의 점 a 에 대하여, a 를 포함한 열린집합 U 가 있어서, U 가 m 차원 유클리드공간의 열린집합 U' 과 위상동형일 때, M 을 (경계가 없는) 위상다양체라 한다. 나아가, a 가 두 열린집합 U, V 에 포함되어 있고, 각각 유클리드 공간의 열린집합 U' , V' 과 동상이라고 하자：

이 경우,

는 적당히 정의역을 잡으면, m 차원 유클리드 공간의 열린집합에서 열린집합으로 가는 사상이 된다. 이 사상이 Cn 급일 때, M 을 Cn급 m 차원(미분가능)다양체라고 한다. 위의 φ 와 ψ 를 국소좌표계라 한다.

## [편집] 예

- 사영공간

n 차원 벡터공간의 1차원 부분공간 전체의 집합을 사영공간이라 한다. 그림으로 나타내기는 힘들지만 좋은 다양체가 된다.

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org../../../%EB%8B%A4/%EC%96%91/%EC%B2%B4/%EB%8B%A4%EC%96%91%EC%B2%B4.html’

분류: 미분위상수학 | 기하학적 위상수학 | 다양체

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