홀로노미

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구면 상의 평행수송의 결과는 경로에 의존한다. 벡터를 A → N → B로 수송하면 그냥 A → B로 수송한 것과는 다른 벡터가 나오는 것이다. 접속의 홀로노미는 이와 같이 달라지는 정도를 측정한다.
구면 상의 평행수송의 결과는 경로에 의존한다. 벡터를 A → N → B로 수송하면 그냥 A → B로 수송한 것과는 다른 벡터가 나오는 것이다. 접속의 홀로노미는 이와 같이 달라지는 정도를 측정한다.

미분기하학에서 매끈한 다양체 상에 주어진 접속홀로노미(holonomy)는 곡률의 존재로부터 나타나는 기하학적 결과로, 닫힌 곡선을 따라 평행수송을 했을 때 기하학적 정보가 변형되는 정도를 측정한 것이다. 평탄한 접속의 홀로노미는 모노드로미의 일종이며, 본질적으로 대역적인 개념이다. 굽은 접속의 경우 홀로노미는 자명치 않은 국소적 측면과 대역적 측면을 함께 가진다.

[편집] 벡터다발의 접속의 홀로노미

E가 매끈한 다양체 M 상의 계수 k의 벡터다발이고, ∇가 E의 접속이라 하자. γ : [0,1] → M가 점 x의 조각마다 매끈한 고리일 때, 접속은 평행수송사상 P_\gamma \colon E_x \to E_x을 정의한다. 이 사상은 선형이며 가역이므로, GL(Ex)의 원소에 대응된다. 이때 ∇의 x에서의 홀로노미 군을 다음과 같이 정의한다:

\mbox{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma \mbox{ is a loop based at } x\}.

x에서의 국소 홀로노미 군 \mbox{Hol}^0_x(\nabla)은 위에서 γ를 축약가능한 고리들만으로 한정해서 얻어지는 부분군으로 정의한다.

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