# 군 표현론

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군 표현론(group representation theory), 줄여서 표현론은 군을 벡터공간의 선형변환으로 표현해 그 성질을 알아보려 하는 수학의 분야이다. 표현론을 이용하면 군론의 문제를 수학자들이 매우 잘 이해하고 있는 선형대수학의 문제로 환원할 수 있다. 또한 물리학에서도 물리적 계의 대칭군과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 표현론을 사용한다.

## [편집] 정의

G가 군이고 V가 체 K 상의 벡터공간이라 하자. 이때 G의 V에 대한 표현은 G에서 GL(V)로의 군 준동형사상을 말한다. (여기에서 GL(V)는 V 상의 일반선형군이다.) 즉, 이는 사상 로서 임의의 G의 원소 g1과 g2에 대해 을 만족하는 경우이다.

여기에서 V를 표현공간(representation space)이라 하고, V의 차원을 이 표현의 차원이라고 한다. 언어의 남용으로서, G에서 GL(V)로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 V를 G의 표현이라 부르기도 한다.

V가 유한차원일 때에는 V의 기저를 하나 선택하여 GL(V)를 K 상의 n행 n열 가역행렬(n은 V의 차원)들의 군 GL(n, K)와 동일시하는 것이 일반적이다.

G가 위상군이고 V가 위상벡터공간일 경우, G의 V에 대한 표현 ρ가 연속 표현이라는 것은 Φ(g,v) = ρ(g).v로 정의된 함수 가 연속인 경우를 말한다.

G의 표현 ρ의 핵(kernel)은 ρ로 보낸 상이 항등변환이 되는 원소들로 이루어진 G의 정규부분군으로 정의한다:

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org../../../%EA%B5%B0/_/%ED%91%9C/%EA%B5%B0_%ED%91%9C%ED%98%84%EB%A1%A0.html’

분류: 가군론 | 군론 | 해석학 (수학)

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