텐서
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텐서(tensor)는 수학과 물리학에서 서로 약간 다른 의미로 사용되는 개념이다. 수학의 다중선형대수학 및 미분기하학 등의 분야에서 텐서는 간단히 말하면 다중선형함수이다. 물리학과 공학 등에서 말하는 텐서는 대체로 기하학적 공간의 각 점마다 수학적인 의미의 텐서가 하나씩 붙어 있는 것을 가리키는데, 수학자들은 이를 보통 텐서장이라 부른다.
[편집] 정의
V와 W가 체 F 상의 벡터공간일 때, 이 둘의 텐서곱
는 F 상의 벡터공간으로 아래의 보편 조건을 만족하는 이중선형사상
을 갖는 것이다.
- 보편 조건: F 상의 임의의 벡터공간 X와 F-이중선형사상
에 대해,
- 를 만족하는 F-선형사상
가 유일하게 존재한다.
위의 보편 조건을 만족하는 벡터공간
과 이중선형사상
은 유일하게 존재하며, 따라서 이 조건으로 텐서곱이 정의된다.
이때, V 상의 텐서는 벡터공간
의 원소(즉, 벡터)로 정의된다. (여기에서 V*는 V의 쌍대공간이다.) 위의 텐서곱에서 V가 m개 있고 V*가 n개 있을 경우 이를 (m, n) 형의 텐서라 한다. 여기에서 m을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank)라 하고 n을 공변 계수(covariant rank)라 하며, m+n을 총 계수(total rank)라 한다.
계수 0의 텐서는 스칼라(F의 원소)와 같고, 공변 계수 없이 반변 계수만 1인 텐서는 V의 원소(벡터)와 같으며, 공변 계수만 1인 텐서는 V*의 원소(1-형식)와 같다.


