측도

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수학에서 측도(measure)는 집합부분집합에 대해 숫자를 대응시키는 함수로서, 아래에서 설명할 몇몇 조건을 만족시키는 것을 말한다. 여기에서 대응되는 숫자는 구체적으로 그 집합의 "크기"나 "확률" 등으로 해석할 수 있다. 측도의 개념은 적분을 구간만이 아닌 보다 일반적인 집합에 대해 계산하기 위해 개발되었으며, 해석학확률론 등에서 중요하게 쓰인다.

[편집] 정의

μ가 집합 X 상의 σ-대수 Σ를 정의역으로, 확장 구간 [0,∞]을 공역으로 갖는 함수라 하자. 이때 다음의 조건들이 만족되면 이를 측도라 한다.

 \mu(\varnothing) = 0 .
  • 가산합 성질(countable additivity): E_1, E_2, E_3,\,\! ...가 가산개의 서로소인 집합들일 때, E_i\,\!들 전부의 합집합의 측도는 각 E_i\,\!들의 측도를 합한 것과 같다:
 \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).

이때 (X,Σ,μ)의 세쌍(triple)을 측도공간이라 하고, 각 Σ의 원소를 측도가능 집합이라 한다.

확률 측도는 집합 전체의 측도가 1인 측도(즉, μ(X)=1)를 말한다. 확률 공간은 주어진 측도가 확률 측도인 측도공간이다.

[편집] 함께 보기

  • 외측도
  • 내측도
  • 하우스도르프 측도
  • 르베그 측도
  • 거의 모든 곳에서
  • 르베그 적분
  • 측도가능 함수