푸리에 급수

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푸리에 급수는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해하여 해석하는 수학적 기법이다. 가중치, 또는 계수는 본래 함수와 일대일 대응한다. 일반 푸리에 급수는 직교 기저에서 전개한다.

푸리에 급수에서의 계수는 본래 함수보다 조작하거나 해석하기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자공학, 진동해석, 음향학, 광학, 신호처리와 화상처리 그리고 데이터 압축등에 쓰인다. 천문학자들은 분광기를 통해 별에서 방사하는 빛의 주파수를 분해함으로써 별을 이루는 화학물질을 알아내는데 사용하고, 통신 공학자들은 전송해야하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화할 수 있다.

푸리에 급수는 열전도 현상에 많은 기여를 한 프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에(Joseph Fourier)의 이름에서 따왔다.

[편집] 정의

푸리에 급수(Fourier series)는 주기함수를 기본적인 조화함수(harmonics)인 cis 함수들의 급수로 나타낸 것이다. 특히, f(x)가 실수에서 복소수로의 함수로 주기가 일 때, 또 모든 유한 구간(finite interval)에서 제곱적분 가능일 때, gn(n은 모든 정수를 취한다)는

 \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{cis}(-nt) f(t) dt

이고, 급수

 \sum_{n=-\infty}^{\infty} g_n \operatorname{cis}(nx)

는 measure가 0인 집합이 아닌 임의의 구간에서 f(x)로 수렴한다.

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