집합

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수학에서 집합(영어: set)은 여러 대상들의 모임을 말하며, 집합을 다루는 이론을 집합론이라고 한다. 19세기 말에 개발된 집합론은 수학의 다른 이론들에 비해 역사가 짧은 편이나, 현대 수학의 거의 모든 이론은 집합론을 토대로 이루어져 있다.

이 글은 초등 교육에서 다루어지는 소박한 집합론에 대한 기본적인 소개를 목적으로 한다. 현대의 수학자들은 소박한 집합론이 갖고 있던 역설들을 해결하기 위해 개발된 공리적 집합론을 사용한다.

목차

[편집] 집합의 정의

집합은 서로 구별되는 대상들을 순서와 무관하게 모은 것을 말한다. 이 때 집합에 속하는 각각의 대상들을 원소라고 한다. 세상에 존재하는 거의 모든 것들은 집합의 원소가 될 수 있으며, 이는 숫자나 사람, 글자, 집합 등을 포함한다. 집합은 일반적으로 라틴 알파벳 대문자 A, B, C 등으로 표시된다. 만약 두 집합 A와 B의 원소가 전부 같다면 A = B라고 쓰고, 두 집합이 같은 집합이라고 말한다.

[편집] 집합의 표현

수학에서는 집합을 묘사하기 위해 일반적으로 원소나열법과 조건제시법의 두 가지가 방법을 사용한다.

[편집] 원소나열법

이 방식은 집합에 들어있는 원소들을 직접 나열하는 방식이다.

  • {1, 2, 3}
  • {흰색, 검은색}

또한, 원소의 수가 많고 원소들 간에 규칙이 있을 때에는 중간을 생략할 수 있다.

  • {1, 2, 3, ..., 100} : 1부터 100까지의 자연수가 있는 집합
  • {2, 4, 6, ..., 40} : 2부터 40까지의 짝수가 있는 집합

이와 같은 표기를 사용할 때에는 규칙성을 알 수 있어야 한다. 예를 들어, {1, 4, 5, 7, ..., -4}와 같은 집합에서는 중간에 생략된 숫자들이 무엇인지 추측할 수 없다.

[편집] 조건제시법

이 방법은 원소들을 구체적으로 설명하는 대신에, 원소들의 논리적 관계를 기술한다. 예를 들어,

{ x | x는 1부터 10까지의 자연수 }

와 같은 집합이 있다면, 이 집합은 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}과 동일한 집합이 된다.

이것은 { (원소) | (원소의 조건) }과 같이 표기한다. 여기에서 앞의 원소 부분에 변수가 한 개만 있을 필요는 없다. 예를 들어, 다음의 설명 방식도 가능하다.

{ x+y | x는 1 또는 2, y는 3 또는 4 } = { 4, 5, 6 }
{ (x,y) | x ∈ {1,2}, y ∈ {1,2} } = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }

[편집] 포함 관계

어떠한 원소가 집합에 속해 있는지를 표기할 때에는 \in, \notin 기호를 사용한다.

예를 들어, 집합 A가 A = {1, 2, 3, 4}라고 할 때 3이 집합 A에 속한다는 것을 다음과 같이 표기한다.

 3 \in A

마찬가지로, 5가 집합 A에 속하지 않는다는 것은 다음과 같이 표기한다.

 5 \notin A

[편집] 집합의 기수

집합이 가진 원소의 수를 집합의 기수(혹은 크기)라고 한다. 즉, 집합 {1, 2, 3, 4, 5}는 5이다.

기수가 0인 집합도 있으며, 이를 공집합이라 부르고 Ø라는 기호로 나타낸다. 예를 들어, 이 4개인 삼각형의 집합은 공집합이다.

집합 중에는 자연수의 집합을 비롯해 무한히 많은 원소를 가진 것도 있으며, 이를 무한 집합이라 한다.

[편집] 중요한 집합들

다음의 집합들은 수학에서 매우 자주 사용되며, 따라서 특별한 기호를 배정해 나타낸다.

[편집] 합집합

집합 A와 집합 B가 있을 때, A나 B 중 하나 이상에 속하는 원소들을 모은 집합을 A U B로 나타낸다.