차원

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0차원 점, 1차원 선분, 2차원 사각형, 3차원 정육면체와 4차원 초입방체를 2차원으로 표현한 그림
0차원 , 1차원 선분, 2차원 사각형, 3차원 정육면체와 4차원 초입방체를 2차원으로 표현한 그림
0차원부터 5차원까지 전개하는 모습
0차원부터 5차원까지 전개하는 모습

수학에서 차원(次元)은 공간 내에 위치한 등의 위치를 나타내기 위해 필요한 의 갯수를 말한다. 여기에서 사용된 수를 그 공간의 매개 변수라고 한다. 이 개념은 수학의 여러 분야에서 용도에 맞게 일반화된 형태로 사용되고 있다.

예를 들어, 평면에 포함된 한 점의 위치를 지정하는 데에는 두 개의 숫자가 필요하다. (보다 구체적으로 말해, 지구의 일부분을 묘사한 지도에서 특정한 위치를 찾아내기 위해서는 위도경도라는 두 개의 숫자를 알아야 한다.) 따라서 평면은 2차원이다.

하늘을 날아가는 비행기의 위치를 묘사하는 데에는 고도라는 또 하나의 변수가 필요하며, 따라서 비행기의 위치는 3차원 공간에 표시할 수 있다. 여기에 세 개의 오일러 각을 추가한 6차원 공간을 생각하면, 비행기의 방향과 궤적을 함께 표시할 수 있다. 또한, 3차원 공간에 시간네번째 차원으로 추가할 수도 있다.

목차

[편집] 차원의 종류

[편집] 공간 차원

고전 물리학은 물리 우주가 3개의 차원을 갖는 것으로 묘사한다. 공간의 각 점에서 움직일 수 있는 기본 방향은 위/아래, 왼쪽/오른쪽, 앞/뒤의 3가지가 있기 때문이다. 그 이외의 다른 방향으로의 움직임은 전부 이 세 가지 방향으로의 움직임을 조합한 것으로 표현할 수 있다. (오른쪽으로의 움직임은 왼쪽으로 음수만큼 움직이는 것과 같다.) 데카르트 좌표계를 참고할 것.

[편집] 시간

시간을 "네번째 차원"이라고 말하기도 한다. 그러나 모든 운동은 시간축 상에서 한 방향으로만 일어나는 것으로 인식된다는 점에서, 시간은 다른 세 차원과는 상당한 차이점이 있다.

[편집] 추가 차원

물리학의 끈 이론이나 M-이론 등은 우리 우주가 익히 알려진 3개의 차원 외에 아원자 규모의 추가 차원을 갖고 있어서, 실제의 시공간이 10차원이나 11차원일 것으로 예측하고 있다. 이는 현 시점에서 실험적으로 검증되지 않았다.

[편집] 수학적 차원

수학에서 차원의 개념을 필요로 하는 분야는 매우 다양하며, 하나의 정의가 이 여러 필요를 전부 만족시키는 것은 불가능하다. 따라서 수학자들은 여러 가지 종류의 공간에 적용시키기 위한 여러 가지 차원의 개념을 만들어냈으나, 이는 전부 근본적으로는 n차원 유클리드 공간 En의 차원 개념에서 유래한 것이다. 점 E0은 0차원이고, 직선 E1은 1차원이며, 평면 E2은 2차원이다. 보다 일반적으로, En은 n차원이다. 또한 4차원 초입방체는 4차원 대상의 좋은 예가 된다.

아래는 수학의 여러 분야에서 쓰이는 차원 개념들의 목록이다.

[편집] 벡터공간

벡터공간의 기저에 속하는 원소의 수(보다 일반적으로는 기저의 기수)를 그 벡터공간의 차원이라고 한다.

[편집] 다양체

연결된 위상다양체는 국소적으로 n차원 유클리드 공간과 위상동형이며, 이때 이 다양체를 n차원이라고 한다. 이 방법으로, 모든 연결된 위상다양체에 대해 차원이 유일하게 정의됨을 보일 수 있다.

기하위상학에서 1차원 및 2차원의 다양체론은 대체로 간단하고, 차원이 5 이상인 경우는 많은 수의 차원 상에서의 작업을 통해 문제를 간략화시킬 수 있는 반면, 3차원과 4차원의 경우가 가장 어려운 경우가 많다. 이는 푸앙카레 추측을 비롯한 여러 경우에서 나타난 현상이다.

[편집] 가환환의 크룰 차원

가환환의 크룰 차원은 볼프강 크룰[?](Wolfgang Krull)의 이름을 따 지어진 개념으로, 소 아이디얼들의 강한 포함관계(strict inclusion)에 의한 사슬의 길이가 가질 수 있는 극대값으로 정의된다.

[편집] 참조