펠의 방정식

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펠의 방정식(영어: Pell's equation)은 디오판토스 방정식의 하나로, 펠의 방정식을 푼다는 것은 다음과 같은 부정 방정식의 정수해를 구하는 것을 뜻한다.

x^2-ny^2=1\,

여기서 n은 1보다 크면서 제곱수가 아닌 자연수라고 가정한다. 만약 n이 제곱수라면 제곱이 되는 인수와 y를 하나로 묶어 생각할 수 있기 때문이다. 이 방정식에 펠의 이름이 붙은 것은 오일러의 착각 탓으로, 최초로 이 방정식의 일반해를 구한 이는 영국의 수학자 브롱커였다. 이 방정식이 자명한 해인 x=\pm1, y=0 외에 무한히 많은 정수해를 갖는다는 것은 라그랑주가 증명하였다.

[편집] 역사

펠의 방정식은 이미 기원전 수 세기전부터 인도와 그리스에서 연구되었다. 그 이유는 무리수의 근사값을 구하기 위한 것으로, 예를 들어 펠 방정식

x2 − 2y2 = 1

을 이용하면 2의 제곱근(\sqrt{2})에 가까운 유리수를 쉽게 구할 수 있다. 예를 들면, 기원전 800년 경의 인도 수학자 보다야나(Baudhayana)는 위 방정식의 두 해 x = 17,y = 12x = 577,y = 408을 발견하였고,

\frac{17}{12} \approx 1.41666 66666, \frac{577}{408} \approx 1.41421 56862

가 되어 \sqrt{2} \approx 1.41421 35623에 아주 가깝다.

[편집] 풀이방법

\tfrac{h_i}{k_i}\sqrt{n}연분수 꼴 수열을 나타낸다고 하자.

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