환 (수학)
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환(環, ring)이란 집합 R에 덧셈과 곱셈 연산자 +과 · 이 정의되어 있고 다음의 조건을 만족하는 대수적 구조이다.
- (R, +)가 아벨군이고, 항등원 0을 가진다.
- (R, *)가 모노이드이다.
- 1 * a = a * 1 = a
- (a * b) * c = a * (b * c)
- +, *에 대해 분배법칙이 성립한다.
- a * (b + c) = a * b + a * c
- (a + b) * c = a * c = b * c
덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립해야 하지만, 곱셈에서는 그러한 조건이 필요하지 않다. 만약 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 경우에는 가환환이라고 부른다.
환에서는 곱셈에 대해서 역원이 꼭 필요하지는 않다. 역원이 존재하는 원소가 있는 경우, 그 원소를 단위라고 부른다.
[편집] 기본적 정리
- 0 * a = a * 0 = 0
- (−1) * a = −a
- (−a) * b = a * (−b) = −(a * b)
- (a * b)−1 = b−1 * a−1 (a와 b가 모두 단위인 경우)
[편집] 예
- 정수 전체 집합 Z은 환을 이룬다.
- 유리수 전체 집합 Q, 실수 전체 집합 R, 복소수 전체집합 C는 각각 환을 이룬다. 나아가 이들은 체를 이룬다.
- n이 양의 정수일때, n으로 나눈 나머지 Z/nZ는 환을 이룬다. 이를 잉여환이라 한다.
- 폐구간 [a, b]에서 정의된 실연속함수 전체의 집합 C[a, b] 은 환을 이룬다. 이 때, 연산은 각 함수값의 덧셈과 곱셈이다. 즉, 함수 f(x) 와 g(x) 의 합과 곱은 다음과 같은 값을 갖는 함수로 정의한다.
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (fg)(x) = f(x)g(x)
- 어떤 환 R의 원소를 계수로 갖는 다항식 전체의 집합 R[x1,x2,...,xn] 은 환을 이룬다.
- A를 환, n을 자연수라고 할 때, A의 원소로 이루어진 n차 정사각행렬 전체 집합 MnA는 환을 이룬다. 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는 비가환의 환이 된다.
- S가 집합일 때, S의 멱집합 P(S)는 다음과 같이 환이 된다. (A, B ⊂ S):
- 이것은 불 환의 예이다.



