Aequationes Lagrangi - Vicipaedia

# Aequationes Lagrangi

### E Vicipaedia

Pagina nondum finita.
Labor est in progressu ...

Latinitas huius paginae inspicienda est. Vide {{latinitas}}.

Aequationes Langrangi sunt aequationes perutiles derivatae e Newtonianis motus legibus a physico Iosepho Louis Lagrange. Hae aequationes sinunt leges Newtonianas facilius exsolvere et generalizare.

## [recensere] Demonstratio

Per leges Newtonianas, omnes particularum traiectoriae sunt exactiter praedictabiles, ergo speciales. In calculo, omnia puncta specialia xi cuiusdam functionis f correspondent aut functionis maximo, aut minimo, aut punctis inflexionibus. Haec puncta obtinemus ponendo derivativum df / dx = 0. Quamobrem Langrange hypothesim fecit analogam, ut functionale S quoddam existat cuius minimum respecto particularum traiectoriae xα(t) accidit quando particularum traiectoriae leges Newtonianas sequuntur.

Ergo Langrange creavit illud functionale S nomine actio

ubi L est functio Langrangiana, xα denotant omnia systematis parametra sicut particularum coordinata, et velocitates correspondentes. Et Lagrange posuit

      ,

ex qua deduxit aequationes Euler-Lagrange:

Hae aequationes illis Newtonianis corrrespondent, si modo L = T - V ponamus, id est, si functio Lagrangiana ponatur aequalis differentiae inter energiam cineticam et energiam potentialem. Si tribus in dimensionibus singulam particulam arelativisticam energia V potentiali habeamus, functio Langrangiana sua est

      .

Deinde

      et

ut possimus aequationes Euler-Lagrange scribere:

      .

Hoc demonstrat aequivalentiam inter leges motus Newtonianas et aequationes Euler-Langrange.

## [recensere] Causa

Has aequationes commenti causa est ut possimus leges Newtonianas facilius in systematibus coordinatis non Cartesianis applicare et generalizare.

### [recensere] Systema penduli lateri mobili affixi

Exempli gratia sphaeram consideremus, quae filo modo de latere mobile pendet, a methodo Lagrangiana descriptam. Pars suae Lagrangianae cinetica est

et pars potentialis est

ubi x est horizontalis lateris positio, m est sphaerae massa, M est lateris massa, L est fili longitudo, g est acceleratio libere cadendi et θ est fili angulum respecto lineae imaginariae quae de latere deorsum intendit.

Schema sphaerae et lateris mobilis, fili angulum θ et lateris positonem x monstrans.

Faciendo illas derivationes respecto x, obtinemus

quod monstrat constantem motus quandam. Respecto θ derivando obtinemus

      ;

ergo

      .

Hae solutiones videntur complexae; sed sine aequationibus Lagrangianis, solum legibus Newtonianis utendo, illas solutiones obtinere difficilior fuerit, quod tunc subtilitate modo omnis vis forma vectorale meditanda est.

### [recensere] Functio Lagrangiana contextu relativistica speciali

Methodus Lagrangiana nos sinit ad contextum relativisticum discriptiones mechanicas facilius generalizare. Exempli gratia particulam onerus electricum habentem consideremus, quae in campo electromagnetico gyrat, in contextu relatvitistica speciali. Functio Lagrangiana huius particulae est:

ubi est particulae positio, q suum onus electricum, sua velocitas, tensio electrica in loco temporeque t, et potentiale vectorale.

Applicando aequationes Euler-Lagrange, obtinemus

quod identificamus ut aequationem virium Lorentz

ubi

## [recensere] Fontes

- L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics, 3rd ed. Butterworth-Heinmann, Oxford, 1976
- John R. Taylor, Classical Mechanics, University Science Books, 2003.
- H. Goldstein, Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, 1980

Receptum de "http://la.wikipedia.org../../../a/e/q/Aequationes_Lagrangi_6da8.html"

Categoriae: Paginae nondum finitae | Latinitas -1 (inspicienda) | L -1

##### Views

- Res
- Disputatio
- Emendatio recentissima

##### communitas

- Invitatio
- Taberna
- Adiutatum
- Donationes

##### Quaerere

##### Linguis aliis

- العربية
- Català
- Deutsch
- English
- Español
- فارسی
- Français
- Galego
- 한국어
- Bahasa Indonesia
- Italiano
- 日本語
- Nederlands
- Polski
- Português
- Русский
- Slovenščina
- Suomi
- 中文