Resürgenza
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Ul A.Hurwitz al a pusaa la quistiun si al füdess pussíbil che una séria da puteenz

representaant una funziun difereent da
,
l'ametess cuntinuazziun analítica luungh un camin saraa inturna a ξ0 e, a la fin da la cuntinuazziun, la tuless la furma:

vargott a dí: sa pöö-la cuntinuá analiticameent una funziun ulumorfa veers la suva derivada?
[redatá] La sulüzziun da Lewy
Ul H.Lewy al a respundüü afermativameent, e al a daa una sulüzziun dal prublema che presentemm chí int una furma ligerameent mudifegada(vidée A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).
Sa cunsideri la funziun
h a l'è ulumorfa par
e la pöö vess cuntinuada analiticameent aj semipian
, da la manera segueent: al síes
taal che
e femm
.
Scrivemm, par
,
Chesta darera integrala, che numinemnm e2, la gh'a da vess calcülada sura la cürva
definida par γ(t): = Reitη.
A emm
par di custaant reaal pusitiiv C1, C2 e α, dunca e2 al teent a 0 quan
.
Inscí, par
hom ha
però chesta darera integrala la cunveerg in
e dunca la ga definiss una cuntinuazziun analítica da h. Repetemm ul prucedimeent N vöölt: vargott al na dà finalameent una cuntinuazziun analítica da h al semiplan
; dunca h la pöö vess cuntinuada analiticameent a tücc i puunt
.
Finalmeent, si femm la cuntinuazziun analítica luungh ul camin
, utegnemm, designaant
l'element da funziun ulumorfa utegnüü (int un intuurn da z = 1) dapress una girada cumpleta, ![\widehat h(z) =
\int_{\mathbb R^+}
\exp
\left[-e^{2\pi e}z
t-(\log t+2\pi e)^2/4\pi e \right]\, dt=](../../../math/3/f/3/3f332d838d47ba0330983fb03d4a6d2b.png)
![=
\int_{\mathbb R^+}
\exp
\left[-zt-
\displaystyle
\frac{(\log t)^2-4\pi ^2+4\pi e\log t}{4\pi e }
\right]\, dt=](../../../math/c/b/2/cb28daba79b096fd42ca809aa250d0af.png)
![=\int_{\mathbb R^+}
\exp
\left[
\displaystyle
-zt
-e^{2\pi e}
t-(\log t)^2/4\pi e
-
\pi e+ \log t
\right]\, dt=](../../../math/f/f/6/ff648642c3f5e340fa3836fe319fadb9.png)
![=
\int_{\mathbb R^+}
(-t)
\exp
\left[-zt-(\log t)^2/4\pi e \right]\, dt= h^{\prime}(z).](../../../math/9/e/9/9e9f73b0b30789d494f0e4aae52d9ac6.png)
Vargott al finiss la presentazziun da la sulüzziun da cheest prublema.
| Artícuj relazziunaa a Matemàtica |
![h(z)=\int_{\mathbb R^+}exp\left[z e^{- i\eta} e^{i\eta} t-
\frac{\log(
e^{- i\eta}
e^{i\eta}
t)^2}{4\pi i }
\right]
\, dt](../../../math/a/6/9/a69f9c4f6b6c1614d8fdfc8920224cda.png)
![=\int_{e^{i\eta}\mathbb R^+}
exp
\left[-ze^{- i\eta}
u-
\displaystyle
\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i }
\right]
e^{- i\eta}
\, du](../../../math/a/7/2/a72df0a256e4e6983fd9f57bd4d74d4a.png)
![=\lim_{R \to\infty}
\left\{
\int_0^{R}
exp
\left[-ze^{- i\eta}
u-
\displaystyle
\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i }
\right]
e^{- i\eta}
\, du+\right.](../../../math/2/5/b/25b185d254b024f3524900acda1ca738.png)
![\ \qquad \left. +
\int_{\gamma_R}
exp
\left[-ze^{- i\eta}
u-
\displaystyle
\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i }
\right]
e^{- i\eta}
\, du\right\}.](../../../math/3/7/b/37bbd0342c6bf9def720c9822d471984.png)

