Vektorius

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Kitos reikšmės – Vektorius (reikšmės).

Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip -- vektoriumi:

v = (v1,v2,...,vn).
kur v yra d skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija -- kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

Turinys

[taisyti] Vektoriaus daugyba iš skaliaro

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro:

cv = (cv1,cv2,...,cvn).

[taisyti] Dviejų vektorių suma

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius: v + w = (v1 + w1,v2 + w2,...,vn + wn). Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t.y., v+w=w+v.

[taisyti] Skaliarinė vektorių sandauga

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t.y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

v \cdot w=\sum_{i=1}^n  v_i\cdot w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 + ... + v_n w_n .
Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

[taisyti] Vektoriaus ilgis

Išnagrinėkime atvejį, kai atliekama vektoriaus skaliarinė sandauga su juo pačiu. Plokštumos (2-matės erdvės) bei įprastos koordinačių sistemos atveju turėsime:

v \cdot v= (v_1)^2 + (v_2)^2.

Prisiminus Pitagoro teoremą, teigiančią, jog stataus trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trikampio kraštinių ilgių kvadratų sumai, tampa natūralus toks vektoriaus ilgio apibūdinimas:

 ||v||=\sqrt{v \cdot v}.
Atkreipkite dėmesį, jog jei nors vienas iš vektoriaus narių bus didesnis nei kiti, tai jo pakėlimas kvadratu lems viso vektoriaus ilgį.

Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=|c| ||v||.

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||<=||v||+||w||.

[taisyti] Atstumas tarp vektorių

Atstumas tarp vieno vektoriaus galo ir kito vektoriaus galo (atstumas tarp dviejų taškų n-matėje koordinačių sistemoje) matuojamas pagal formulę:

 \|v - w\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (v_i - 
w_i)^2}=\sqrt{(v_1 - w_1)^2 + (v_2 - w_2)^2 +...+ (v_n - w_n)^2} .

Pavyzdžiui, turime vektorius v=[3, 6], w=[7, 4]. Atstumas tarp jų galų:

 \sqrt{(3 - 7)^2 + (6 - 4)^2} =\sqrt{20}\approx 4,47 .

[taisyti] Kampas tarp vektorių

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

cos \Theta = \frac{v \cdot w}{||v||\cdot ||w||}.

Remiantis šia formule tampa akivaizdu kodėl yra sakoma, jog skaliarinė vektorių sandauga parodo vektorių atitikimą (panašumą) vienas kitam.

[taisyti] Vektorinė vektorių sandauga

Vektorinės vektorių sandaugos rezultatas yra vektorius. Vektorinė vektorių sandauga turi prasmę tik didesnio nei dviejų matavimų erdvėse.

Vektorių a × b sandauga yra vektorius, statmenas a ir b ir yra aprašytas taip:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}

kur θ yra kampas tarp a ir b, o n yra vienetinio ilgio vektorius (\left\|\mathbf{n}\right\|=1) statmenas ir a ir b. Šio apibrėžimo problema ta, kad yra du vienetiniai vektoriai, statmeni b ir a.

Ortogonalių vektorių bazė e1, e2 , e3 vadinama dešinine, jei trys vektoriai išsidėstę kaip trys dešinės rankos pirštai (nykštys, smilius ir didysis).

Grafinis vektorinės sandaugos pavaizdavimas
Grafinis vektorinės sandaugos pavaizdavimas

o a × b vektorinė sandauga yra tokios krypties, kad a ir b bei a × b tampa dešinine sistema (taip pat atkreipkite dėmesį, kad a ir b nebūtinai yra ortogonalūs). Tai dar kitaip vadinama dešinės rankos taisykle.

Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui (P-simetrija), jos rezultatas kartais vadinamas pseudo-vektoriumi.

Vektorinės sandaugos a × b (vektoriaus) ilgis gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių a ir b.

[taisyti] Nuorodos

http://linux.el.vtu.lt/ssa/sA1node1.html


Susiję straipsniai: