Diferencialas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Diferencialas - funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojamąja taške x _{\in}(a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) - f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A - skaičius, nepriklausantis nuo Δx.

Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x2. Tos funkcijos išvestinė yra \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=2x+\Delta x

y'=f'(x)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \to 0}2x+\Delta x=2x.

Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3.

Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)2=6Δx + (Δx)2,

čia A = 2x = 6 = f'(x); o(Δx) = (Δx)2.

Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) - f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y'dx = f'(x)dx; Δx = dx.

[taisyti] Sumos, skirtumo, sandaugos ir dalmens diferencijavimo taisyklės

Sumos diferencijavimas.

[u(x) + v(x)]' = u'(x) + v'(x)
[u(x) − v(x)]' = u'(x) − v'(x)

Sandaugos diferencijavimas.

[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Dalmens diferencijavimas.

[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}


[taisyti] Sudetinės funkcijos diferencijavimas

 f'(g(x)) = f'(t) g'(x),\, t=g(x)
  • Pavyzdžiui,
f(x) = (x2 + 1)3,

kur f'(t) = (t3)'; g'(x) = (x2 + 1)'.

f'(x) = f'(t)g'(x) = (t3)'(x2 + 1)' = 3t22x = 3(x2 + 1)22x.


  • Pavyzdys iš trigonometrijos,
f(x) = \sin(x^2),\,
f'(t) = (sin(t))'
g'(x) = (x2)'
f'(x) = f'(t)g'(x) = (sin(t))'(x2)' = 2xcos(t) = 2xcos(x2).