Menamasis vienetas
Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Menamasis vienetas (arba tariamasis vienetas) – skaičius i arba j leidžiantis realiųjų skaičių aibę
praplėsti iki kompleksinių skaičių aibės
.
Pagrindinė tariamojo vieneto įvedimo motyvacija – faktas, kad ne kiekviena polinominė lygybė f(x) = 0 turi sprendimą realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, lygybė x2 + 1 = 0 neturi realaus sprendimo. Praplėtus realiųjų skaičių aibę menamuoju (tariamuoju vienetu), kiekviena tokia lygybė turi sprendinį naujoje kompleksinių skaičių aibėje. Nors daugelyje vadovėlių ir knygų sakoma, kad
, tokį teiginį reikia naudoti su tam tikromis išlygomis (žr. perspėjimą žemiau).
[taisyti] Apibrėžimas
Pagal apibrėžimą menamasis vienetas i yra vienas iš kvadratinės lygties
arba
sprendinių.
Kadangi nėra realiojo skaičiaus, kuris pakeltas kvadratu duotų neigiamą realų skaičių, mes galime įsivaizduoti jį (tarti jį egzistuojant - iš čia ir pavadinimas menamasis arba tariamasis vienetas) egzistuojant ir priskirti jam simbolį i. Tačiau i yra tokia pat lygiavertė matematinė abstrakcija, kaip ir realusis skaičius, nors, aišku, jį sunkiau intuityviai suvokti.
[taisyti] i ir −i
Kadangi x2 = − 1 tai antros eilės polinomas, lygtis turi du skirtingus sprendinius: vienas i kitas −i ≠ i. Kadangi kvadratinė lygtis yra vienintelis i apibrėžimas, atrodo, kad jis nevienareikšmis. Tačiau jokių dviprasmybių nelieka, jei pasirenkamas vienas iš sprendinių ir deklaruojamas kaip "teigiamas i". Tai yra dėl to kad nors −i ir i nėra kiekybiškai vienodi (vienas neigiamas, kitas teigiamas), tačiau kokybiškai jie nesiskiria (tačiau to negalima pasakyti apie −1 ir +1): abu menamieji skaičiai turi vienodas teises būti −1 kvadratu. Jei visose matematinėse knygose apie kompleksinius skaičius pakeisti +i į −i, visi faktai ir teoremos išliks teisingomis. Taigi, nė viena vertė nėra svarbesnė už kitą, o pažymėjimas vieną "teigama" tėra tik užrašymo rudimentas.
Ši problema matematine prasme gana subtili. Nors kompleksinių skaičių laukas apibrėžtas kaip R[X]/ (X2 + 1), iš tiesų yra du R[X]/ (X2 + 1) automorfizmai, pats X ir automorfizmas, atvaizduojantis X į −X.
Panaši problema atsiranda, kai kompleksiniai skaičiai yra vaizduojami kaip 2 × 2 realiosios matricos, kadangi tiek
tiek ir
yra matricinės lygties sprendiniai:
.
Šiuo atveju nevienareikšmiškumas atsiranda dėl geometrinio teigiamos krypties apskritime pasirinkimo. Matematiškai išsireiškus, grupės SO (2, R) automorfizmas turi du elementus — vienetą ir automorfizmą, kuris sukeičia vietomis pasukimus kryptimis pagal laikrodžio rodyklę ir prieš laikrodžio rodyklę.
Visų šių nevienareikšmiškumų yra išvengiama, jei įvedama griežtesnis kompleksinio skaičiaus apibrėžimas, kuomet išreikštai pasirenkamas vienas iš sprendinių kaip menamasis vienetas.
[taisyti] Perspėjimas
Menamasis vienetas kartais yra užrašomas
, tačiau reikia labai atidžiai naudoti formules su šaknies operacijomis. Šis pažymėjimas naudotinas tik realiesiems x ≥ 0, arba pagrindinei kompleksinės šaknies funkcijos šakai. Jei mėginsime realiųjų skaičių šaknies traukimo taisykles taikyti kompleksinės šaknies operacijai, galime gauti klaidingus rezultatus:
Skaičiavimo taiskylė
teisinga tik realioms, neneigiamoms a ir b vertėms.
Norint išvengti tokių klaidų, reikia niekada nenaudoti neigiamų skaičių po šaknies ženklu. Pavyzdžiui, vietoj
reikia rašyti
.







