Aptarimas:Euklidinė erdvė
Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
[taisyti] Dviejų vektorių skaliarinė sandauga
(1)
[taisyti] Savybės
N-mačių eilučių tikrojoje erdvėje skaliarinę sandaugą galime įvesti panašiai kaip trimatėje erdvėje. Vektorių-eilučių
- [α] = [a1,a2,...,an] ir [β] = [b1,b2,...,bn]
- skaliarinę sandaugą taip apibrėšime
![[ \alpha ] \cdot [ \beta ] = [a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n ]](../../../math/f/8/d/f8d84679dcbb933e290eccc911836d34.png)
- arba
![[ \alpha ] \cdot [ \beta ] =\sum_{s=1}^n a_s b_s.](../../../math/9/d/b/9db5cd4246ce20fb1946406b2699cb3d.png)
Euklidinę eilučių erdvę galima apibrėžti ir taip:
![[ \alpha ] \cdot [ \beta ] =](../../../math/a/1/2/a12a2934676bc96c5cd9ef64005f0523.png)
- = s1,1a1b1 + s1,2a1b2 + ... + s1,na1bn +
- + s2,1a2b1 + s2,2a2b2 + ... + s2,na2bn +
- .................................
- + sn,1anb1 + sn,2anb2 + ... + sn,nanbn.
arba
- Tegu turime n-matę unitarinę (euklidinę) erdvę ir jos bazę ω = w1,w2,...,wn. Išnagrinėsime, kaip galima išreikšti skaliarinę sandaugą, pasinaudojus bazės elementais w1,w2,...,wn. Surasime vektorių
,![[ \beta ] \cdot [ \omega ] = [a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n ]](../../../math/4/1/d/41df76c9af7db81e060eba6ca37d37f7.png)
- skaliarinę sandaugą.
- Kadangi formulė (1) matematinės indukcijos metodu lengvai pakeičiama n dėmenų atvejui, tai


- Vektorių skaliarinė sandauga yra skaliaras, todėl

- Matrica S (kuri tapati ermitinei matricai H) turi būti simetrine, t.y. jos elementai turi tenkinti šią sąlygą:
- sj,k = sk,j.
- Pavyzdžiui turime vektorius a=(3, 5, 7) b=(4, 6, 8) ir w=(2, 3, 4).
![\alpha = a \cdot \omega = [3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 4] = 6+15+28=49](../../../math/5/d/6/5d668fcba2152dc70d84e6e3000342a2.png)




=48+108+192+120+270+480+224+504+896=348+870+1624=2842
- Kitas pavyzdys. Turime vektorius a=[3, 4, 5, 6], b=[2, 5, 3, 7], c=[6, 2, 4, 7], d=[5, 4, 6, 3].
- Skaliaras
=3*6+4*2+5*4+6*7=88, o skaliaras
=2*5+5*4+3*6+7*3=69. - Skaliarų sandauga

- Formulė atrodys taip:





- =3*2*6*5+3*5*6*4+3*3*6*6+3*7*6*3+
- +4*2*2*5+4*5*2*4+4*3*2*6+4*7*2*3+
- +5*2*4*5+5*5*4*4+5*3*4*6+5*7*4*3+
- +6*2*7*5+6*5*7*4+6*3*7*6+6*7*7*3=
- =180+360+324+378+
- +80+160+144+168+
- +200+400+360+420+
- +420+840+756+882=
- =1242+
- +552+
- +1380+
- +2898=
- =6072.
- Panagrinėkime atvejį, kai a=(3, 4, 5), b=(6, 7, 8), w=(1, 1, 1).
=3*1+4*1+5*1=12
=6+7+8=21
=21*12=252- arba




- =3*6*1+3*7*1+3*8*1+
- +4*6*1+4*7*1+4*8*1+
- +5*6*1+5*7*1+5*8*1=
- =63+84+105=252
Pavyzdžiai iš pagrindinio straipsnio iškelti į diskusijas, nes tai bereikalingas straipsnelio apkrovimas. Orionus 12:35, 2007 Gegužės 4 (EEST)



