Trigonometrija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Trigonometrija (gr. trigonon – trikampis, metreo – matuoju) – geometrijos šaka, tyrinėjanti sąryšius tarp kampų ir kraštinių geometrinėse figūrose. Pagrindinės trigonometinės funkcijos yra sinusas (sinx), kosinusas (cosx), tangentas (tanx), kotangentas (Nepavyko apdoroti (nežinoma klaida\ctg): \ctg x ) bei jų atvirkštinės funkcijos.

Turinys

[taisyti] Istorija

Trigonometijos ištakas jau galima atsekti anksčiausiuose matematiniuose šaltiniuose Egipto bei Babilono civilizacijose. Babiloniečiai buvo pirmieji, kurie kampų matavimui naudojo laipsnių, minučių ir sekundžių sistemą.

Tačiau daugiausiai prie trigonometrijos prisidėjo graikų matematikai, tarp kurių turbūt žymiausias buvo Hiparkas jau II a. pr. m. e. sudaręs trigonometrinę lentelę, pagal kurią buvo galima rasti kraštinių ilgius. Dabar tai būtų sinusų lentelės atitikmuo. Vėliau šią lentelę patikslino bei išpletė kitas graikų matematikas Ptolemėjas, savo knygoje smulkiai paaiškinęs, kaip rasti nežinomus trikampių dydžius žinant kitus kampus ir kraštines.

Maždaug tuo pat metu Indijos matematikai taip pat aktyviai tyrinėjo šią geometrijos šaką ir pasiekė panašių rezultatų kaip ir graikai. Jau vėliau, VIII a., arabų matematikai perėmė graikų ir indų žinias šioje srityje ir patys pradėjo aktyviai tyrinėti. Maždaug X a. jie išvedė jau penkias trigonometrines funkcijas, įrodė pagrindines teoremas bei sudarė labai tikslią trigonometrinę lentelę, nurodydami sinuso reikšmes kas 1/60 laipsnio.

Vakarų Europa šiuos arabų matematikų tekstus išvertė bei pradėjo naudoti XII a. XIII amžiuje vokiečių matematikas Georgas Jochimas (George Joachim) įvedė šiuolaikišką trigonometrinių funkcijų naudojimą, kurios nurodo kraštinių santykį, o ne vienetinį ilgį, kuriuo rėmėsi indų bei arabų matematikai.

Vėlesniais amžiais būtų galima išskirti škotų matematiko Džono Neperio (XVII a.) ir garsiojo šveicarų matematiko Leonardo Oilerio indėlius į šią matematikos šaką.

[taisyti] Trigonometrinės funkcijos

[taisyti] Sinuso, kosinuso ir tangento funkcijos

Sinuso, kosinuso ir tangento funkcijos gali būti apibrėžtos keliais būdais. Vienas iš jų – pagal statųjį trikampį:

Tada su bet kokiu kampu θ intervale nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki \frac{\pi}{2} radianų) sinuso funkciją galima apibrėžti kaip kraštinės esančios prieš kampą ir įžambinės santykį. Arba:

\sin \theta = \frac{b}{c} \;

Kosinuso funkcija atitinkamai yra kraštinės esančios šalia ir įžambinės santykis:

\cos \theta = \frac{a}{c} \;

Tangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio priešais ir šalia santykis:

\tan \theta = \frac{b}{a} \;

[taisyti] Pagrindinės formulės

[taisyti] Pagrindinės trigonometrinės lygybės

sin2A + cos2A = 1
\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}
\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}
\tan A \; \cot A=1
1+\tan^2 A=\frac{1}{\cos^2 A}
1+\cot^2 A= \frac{1}{\sin^2 A}



[taisyti] Kampų sudetis ir atimtis

\begin{align}
\sin(A \pm B) &= \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\
\cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \\
\tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \\
\cot(A \pm B) &= \frac{\cot A \cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A}
\end{align}

[taisyti] Funkcijų sudetis ir atimtis

\begin{align}
\sin A \pm \sin B &= 2\cdot \sin (\frac{A \pm B}{2})\cdot \cos (\frac{A \mp B}{2})\\
\cos A + \cos B &= 2\cdot\cos (\frac{A + B}{2})\cdot\cos (\frac{A - B}{2})\\
\cos A - \cos B &= -2\cdot\sin (\frac{A + B}{2})\cdot\sin (\frac{A - B}{2})&=2\cdot\sin (\frac{A + B}{2})\cdot\sin (\frac{B - A}{2})
\end{align}
\tan A \pm \tan B =\frac{\sin(A\pm B)}{\cos A \cos B}
\cot A \pm \cot B =\frac{\sin(B\pm A)}{\sin A \sin B}


[taisyti] Funkcijų daugyba:

\begin{align}
\cos(A)\cdot\cos(B) &= \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos (A - B)]\\
\sin(A)\cdot\sin(B) &= -\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos (A - B)]\\
\cos(A)\cdot\sin(B) &= \frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin (A - B)]\\
\sin(A)\cdot\cos(B) &= \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin (A - B)]
\end{align}

[taisyti] Dvigubo kampo lygybės

\begin{align}
\sin 2A &= 2 \sin A \cos A \\
        &= \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A}\\
\cos 2A &= \cos^2 A - \sin^2 A \\
        &= 2 \cos^2 A -1 \\
        &= 1-2 \sin^2 A \\
        &= {1 - \tan^2 A \over 1 + \tan^2 A}\\
\tan 2A &= \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\\
        &= \frac{2 \cot A}{\cot^2 A - 1}\\
        &= \frac{2}{\cot A - \tan A}
\end{align}

[taisyti] Trigubo kampo lygybės

sin3A = 3sinA − 4sin3A
cos3A = 4cos3A − 3cosA

[taisyti] Puse kampo lygybės

\begin{align}
\sin \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \\
\cos \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \\\tan \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A}
\end{align}
\cot A=\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=\frac {\sin A}{1-\cos A}=\frac {1+\cos A}{\sin A}