Integravimo metodai

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Šiame straipsnyje pateikiami metodai, padedantys integruoti.

Turinys

[taisyti] Tiesioginis integravimas

Jei

\int f(x) \mathsf{d}x = F(x) + C, \quad

tai

\int f(u) \mathsf{d}u = F(u) + C. \quad

Šis metodas pagrįstas pirmos eilės diferencialo formos invariantiškumu.

Pavyzdžiui, kadangi:

 \int t^3 \mathsf{d}t = \frac{t^4}{4} + C ir \mathsf{d}(x + 10) = \mathsf{d}x ,

tai:

 \int (x + 10)^3 \mathsf{d}x = \int (x + 10)^3 \mathsf{d}(x + 10) = \frac{(x + 10)^4}{4} + C.


[taisyti] Integravimas keičiant kintamąjį

Jei pasižymime kintamąjį t = φ(x), o funkcijos f(x), φ(x) ir φ'(x) yra tolydžios, tai:

\int f(x) \mathsf{d}x = \int g(\phi(x)) \phi'(x) \mathsf{d}x=\int g(t) \mathsf{d}t.
t = φ(x)
\phi'(x) \mathsf{d}x = \mathsf{d}t.
  • Pavyzdžiui, yra integralas \int \cos (2x) \; dx.
f(x) = cos(2x)
φ(x) = t = 2x
φ'(x) = t' = (2x)' = 2
\phi'(x)\mathsf{d}x=2 \mathsf{d}x=\mathsf{d}t
\mathsf{d}x=\frac{\mathsf{d}t}{2}
g(t) = cost
\int \cos t \; \frac{dt}{2}=\frac{\sin t}{2}+C=\frac{\sin(2x)}{2}+C.
  • Kitas pavyzdys. Yra integralas \int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}.
f(x)=\frac{x^3}{(2x)^8+1}
φ(x) = t = (2x)4
φ'(x) = t' = ((2x)4)' = (16x4)' = 64x3
\phi'(x)\mathsf{d}x=64x^3 \mathsf{d}x=\mathsf{d}t
x^3 \mathsf{d}x=\frac{\mathsf{d}t}{64}
g(t)=\frac{1}{t^2+1}

\int \frac{1}{t^2+1} \cdot \frac{\mathsf{d}t}{64}=\frac{arctg \; t}{64}+C=\frac{arctg \; (2x)^4}{64}+C .


Integruojant kartais tinka keitinys t = ψ(x). Suintegravus reiškinį reikia grįžti prie senojo kintamojo.

Pavyzdžiui:

\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x,

Keitinys: x = \sin t, \mathsf{d}x = \cos t \; \mathsf{d}t, t = \arcsin x \quad,

\int \sqrt{1 - \sin^2 t} \; \cos t \; \mathsf{d}t = \int \cos^2 t \; \mathsf{d}t =
 = \frac{1}{2} \left( \int \mathsf{d}t + \frac{1}{2} \int \cos 2t \; \mathsf{d}(2t) \right) = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C.

Įstatę pakeistą kintamąjį gauname atsakymą:

\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{\sin (2\arcsin x)}{4} + C.
  • Apskaičiuosime \int \cos 2x \; dx. Šiuo atveju reikia pasirinkti labai paprastą keitinį t = 2x, dt = 2dx. Pasinaudoję tuo keitiniu, gauname
\int \cos 2x= \int \frac{1}{2} \cos t \; dt = \frac{1}{2} \sin t+C=\frac{1}{2} \sin 2x +C.
  • Apskaičiuosime \int \frac{dx}{x+a}. Paėmę t = x + a, dt = dx, gausime
\int \frac{dx}{x+a}=\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+C=\ln|x+a|+C.
  • Apskaičiuosime \int e^{\cos x} \sin x \; dx. Lengva numatyti, kad tas integralas apskaičiuojamas, naudojant keitinį t = cosx. Tuomet dt=-\sin x \; dx ir
\int e^{\cos x} \sin x \; dx=-\int e^t \; dt= -e^t+C=-e^{\cos x}+C.
  • Apskaičiuosime \int \frac{(arctg \; x)^{100}}{1+x^2} \; dx. Šiuo atveju patogu vartoti keitinį t = arctg x, nes tuomet dt=\frac{dx}{1+x^2}. Todėl
\int \frac{(arctg \; x)^{100}}{1+x^2} \; dx=\int t^{100} \; dt=\frac{t^{101}}{101}+C=\frac{(arctg \; x)^{101}}{101}+C.
  • Apskaičiuosime \int (7x-9)^{2999} \; dx. Keičiam kintamajį: t=7x-9, dt=7 \; dx. Tada

\int (7x-9)^{2999} \; dx = \frac{1}{7} \int t^{2999} \; dt =\frac{t^{3000}}{21000} +C=\frac{(7x-9)^{3000}}{21000}+C.

  • Apskaičiuosime \int \frac{dx}{\cos x}. Kad būtų lengviau pasirinkti keitinį, integralą užrašysime šitaip:
\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{\cos x \; dx}{\cos^2 x}=\int  \frac{\cos x \; dx}{1-\sin^2 x} .
Dabar jau aišku, kad reikia imti keitinį t = sin x, dt = cos x dx. Tada
\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{dt}{1-t^2}=\frac{1}{2} \ln |\frac{1+t}{1-t}|+C=\ln | tg \; (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C .
  • Apskaičiuosime \int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}. Čia patogus keitinys t = (2x)4, dt = 64x3dx, nes ((2x)4)' = 64x3. Tada
\int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}=\frac{1}{64}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{arctg \; t}{64}+C=\frac{arctg \; (2x)^4}{64}+C .

[taisyti] Dalinis integravimas

Tarkime, kad funkcijos u(x) ir v(x) turi tolydžias išvestines. Tada:

\int u(x) v'(x) \mathsf{d}x = u(x)v(x) - \int v(x) u'(x) \mathsf{d}x.

Lygtis nesunkiai įrodoma prisiminus sandaugos diferenciavimo taisyklę:

 \int \mathsf{d}(uv) = uv,
 \int u \mathsf{d}v + \int v \mathsf{d}u = uv,
 \int u \mathsf{d}v = uv - \int v \mathsf{d}u.

Pavyzdys:

\int x \mathsf{e}^x \mathsf{d}x = x\mathsf{e}^x - \int \mathsf{e}^x \mathsf{d}x = x\mathsf{e}^x - \mathsf{e}^x + C.

Čia u(x) = x, o v'(x) = ex.

[taisyti] Susiję straipsniai