Kompleksinis skaičius
Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:
,
kur a ir b – realieji skaičiai, o i = (0,1) – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:
- i2 = − 1
Nors priimta, kad
, tačiau ši išraiška turi būti taikoma su tam tikromis išlygomis (žr. menamasis vienetas).
Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).
Kompleksinių skaičių aibė žymima C:
Turinys |
[taisyti] Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais
Sudėtis
Atimtis
,
Daugyba
Dalyba
-
.
.
[taisyti] Kompleksinių skaičių laukas
Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:
Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).
Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:
Lauke C mes turime:
- vienetinį elementą sudėčiai ("nulį"): (0, 0)
- vienetinį elementą daugybai ("vienetą"): (1, 0)
- atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
- atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b):

[taisyti] Kompleksinių skaičių plokštuma
Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).
[taisyti] Trigonometrinė forma
Greta algebrinės formos (
) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:
,
Čia
,
,
.
Formulė kai r = 1 yra vadinama Oilerio formule:
.
Šiuo atveju kompleksinis skaičius (a,b) turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas φ yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). r yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).
[taisyti] Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje
Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:
dalyba:
Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:
Šaknies traukimo operacija:
,
– egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n, gaunamos reikšmės kartojasi.












