Aptarimas:Euklidinė erdvė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

[taisyti] Dviejų vektorių skaliarinė sandauga

(a \alpha \cdot b \beta)=ab(\alpha \cdot \beta) (1)

[taisyti] Savybės

N-mačių eilučių tikrojoje erdvėje skaliarinę sandaugą galime įvesti panašiai kaip trimatėje erdvėje. Vektorių-eilučių

[α] = [a1,a2,...,an] ir [β] = [b1,b2,...,bn]
skaliarinę sandaugą taip apibrėšime
[ \alpha ] \cdot [ \beta ]  = [a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n ]
arba
[ \alpha ] \cdot [ \beta ] =\sum_{s=1}^n  a_s  b_s.

Euklidinę eilučių erdvę galima apibrėžti ir taip:

[ \alpha ] \cdot [ \beta ]  =
= s1,1a1b1 + s1,2a1b2 + ... + s1,na1bn +
+ s2,1a2b1 + s2,2a2b2 + ... + s2,na2bn +
.................................
+ sn,1anb1 + sn,2anb2 + ... + sn,nanbn.

arba

= \sum_{j,k=1}^n s_{j,k} a_j b_k  .
Tegu turime n-matę unitarinę (euklidinę) erdvę ir jos bazę ω = w1,w2,...,wn. Išnagrinėsime, kaip galima išreikšti skaliarinę sandaugą, pasinaudojus bazės elementais w1,w2,...,wn. Surasime vektorių
[ \alpha ] \cdot [ \omega ]  = [a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n ] ,
[ \beta ] \cdot [ \omega ]  = [a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n ]
skaliarinę sandaugą.
Kadangi formulė (1) matematinės indukcijos metodu lengvai pakeičiama n dėmenų atvejui, tai
(\alpha \cdot \beta)=(a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n \cdot b_1 w_1 + b_2 w_2 + ... + b_n w_n) =
= \sum_{j,k=1}^n  a_j b_k (w_j \cdot w_k) .
Vektorių skaliarinė sandauga yra skaliaras, todėl
 ( w_j \cdot w_k ) = s_{j,k}
Matrica S (kuri tapati ermitinei matricai H) turi būti simetrine, t.y. jos elementai turi tenkinti šią sąlygą:
sj,k = sk,j.
Pavyzdžiui turime vektorius a=(3, 5, 7) b=(4, 6, 8) ir w=(2, 3, 4).
 \alpha  = a \cdot  \omega   = [3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 4] = 6+15+28=49
 \beta  = b \cdot  \omega   = [4 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4]=8+18+32=58
( \alpha  \cdot  \beta )   = 49 \cdot 58 = 2842
 \sum_{j,k=1}^n  a_j b_k (w_j \cdot w_k) =
  =  3 \cdot 4 \cdot (2 \cdot 2) + 3 \cdot 6 \cdot (2 \cdot 3) + 3 \cdot 8 \cdot (2 \cdot 4) +
  +  5 \cdot 4 \cdot (3 \cdot 2) + 5 \cdot 6 \cdot (3 \cdot 3) + 5 \cdot 8 \cdot (3 \cdot 4) +
 +  7 \cdot 4 \cdot (4 \cdot 2) + 7 \cdot 6 \cdot (4 \cdot 3) + 7 \cdot 8 \cdot (4 \cdot 4) =

=48+108+192+120+270+480+224+504+896=348+870+1624=2842

Kitas pavyzdys. Turime vektorius a=[3, 4, 5, 6], b=[2, 5, 3, 7], c=[6, 2, 4, 7], d=[5, 4, 6, 3].
Skaliaras \alpha = a \cdot c =3*6+4*2+5*4+6*7=88, o skaliaras \beta = b \cdot d =2*5+5*4+3*6+7*3=69.
Skaliarų sandauga \alpha \cdot \beta = 88*69=6072
Formulė atrodys taip:
 \sum_{j,k=1}^n  a_j b_k (c_j \cdot d_k) =
 = a_1 b_1 (c_1 \cdot d_1) + a_1 b_2 (c_1 \cdot d_2) + a_1 b_3 (c_1 \cdot d_3) + a_1 b_4 (c_1 \cdot d_4) +
 + a_2 b_1 (c_2 \cdot d_1) + a_2 b_2 (c_2 \cdot d_2) + a_2 b_3 (c_2 \cdot d_3) + a_2 b_4 (c_2 \cdot d_4) +
+ a_3 b_1 (c_3 \cdot d_1) + a_3 b_2 (c_3 \cdot d_2) + a_3 b_3 (c_3 \cdot d_3) + a_3 b_4 (c_3 \cdot d_4) +
+ a_4 b_1 (c_4 \cdot d_1) + a_4 b_2 (c_4 \cdot d_2) + a_4 b_3 (c_4 \cdot d_3) + a_4 b_4 (c_4 \cdot d_4) =
=3*2*6*5+3*5*6*4+3*3*6*6+3*7*6*3+
+4*2*2*5+4*5*2*4+4*3*2*6+4*7*2*3+
+5*2*4*5+5*5*4*4+5*3*4*6+5*7*4*3+
+6*2*7*5+6*5*7*4+6*3*7*6+6*7*7*3=
=180+360+324+378+
+80+160+144+168+
+200+400+360+420+
+420+840+756+882=
=1242+
+552+
+1380+
+2898=
=6072.
Panagrinėkime atvejį, kai a=(3, 4, 5), b=(6, 7, 8), w=(1, 1, 1).
\alpha = a \cdot w =3*1+4*1+5*1=12
\beta = a \cdot w =6+7+8=21
\alpha  \cdot \beta =21*12=252
arba
\alpha  \cdot \beta = \sum_{j,k=1}^n  a_j b_k (w_j \cdot w_k) =
= a_1 b_1 (1 \cdot 1) + a_1 b_2 (1 \cdot 1) + a_1 b_3 (1 \cdot 1) +
+ a_2 b_1 (1 \cdot 1) + a_2 b_2 (1 \cdot 1) + a_2 b_3 (1 \cdot 1) +
+ a_3 b_1 (1 \cdot 1) + a_3 b_2 (1 \cdot 1) + a_3 b_3 (1 \cdot 1) =
=3*6*1+3*7*1+3*8*1+
+4*6*1+4*7*1+4*8*1+
+5*6*1+5*7*1+5*8*1=
=63+84+105=252

Pavyzdžiai iš pagrindinio straipsnio iškelti į diskusijas, nes tai bereikalingas straipsnelio apkrovimas. Orionus 12:35, 2007 Gegužės 4 (EEST)