Teiloro eilutė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Teiloro eilutė – 1712 m. B. Teiloro aprašyta formulė, pagal kurią polinomu galima aproksimuoti bet kurią tolydžią, realaus ar kompleksinio skaičiaus a aplinkoje be galo diferencijuojamą funkciją.

Formulė:

f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + R_N, kai x pakankamai artimas a.

Čia n! yra n faktorialas, o f(n)(a) žymi n-tąją funkcijos f išvestinę taške a.

Kai a = 0, eilutė kartais vadinama Makloreno eilute (pagal škotų matematiką Koliną Makloreną).

Bendruoju atveju, Teiloro eilutės nebūtinai konverguoja į funkcijos reikšmę tame taške.

Pavyzdžiui, eksponentės (ex), cos x ir sin x reikšmes netoli taško 0 galima paskaičiuoti pagal formules:

 \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.

 \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
 \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

Čia x yra apskritimo lanko ilgis, kurio spindulys lygus 1. Arba kitaip tariant x yra lanko ilgis radianais.