Integravimo metodai
Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Šiame straipsnyje pateikiami metodai, padedantys integruoti.
Turinys |
[taisyti] Tiesioginis integravimas
Jei
tai
Šis metodas pagrįstas pirmos eilės diferencialo formos invariantiškumu.
Pavyzdžiui, kadangi:
ir
,
tai:
[taisyti] Integravimas keičiant kintamąjį
Jei pasižymime kintamąjį t = φ(x), o funkcijos f(x), φ(x) ir φ'(x) yra tolydžios, tai:

- t = φ(x)

- Pavyzdžiui, yra integralas

- f(x) = cos(2x)
- φ(x) = t = 2x
- φ'(x) = t' = (2x)' = 2


- g(t) = cost

- Kitas pavyzdys. Yra integralas


- φ(x) = t = (2x)4
- φ'(x) = t' = ((2x)4)' = (16x4)' = 64x3




Integruojant kartais tinka keitinys t = ψ(x). Suintegravus reiškinį reikia grįžti prie senojo kintamojo.
Pavyzdžiui:
Keitinys:
,
Įstatę pakeistą kintamąjį gauname atsakymą:
- Apskaičiuosime
Šiuo atveju reikia pasirinkti labai paprastą keitinį t = 2x, dt = 2dx. Pasinaudoję tuo keitiniu, gauname
- Apskaičiuosime
Paėmę t = x + a, dt = dx, gausime
- Apskaičiuosime
Lengva numatyti, kad tas integralas apskaičiuojamas, naudojant keitinį t = cosx. Tuomet
ir
- Apskaičiuosime
Šiuo atveju patogu vartoti keitinį t = arctg x, nes tuomet
. Todėl
- Apskaičiuosime
Keičiam kintamajį:
. Tada

- Apskaičiuosime
Kad būtų lengviau pasirinkti keitinį, integralą užrašysime šitaip:

- Dabar jau aišku, kad reikia imti keitinį t = sin x, dt = cos x dx. Tada

- Apskaičiuosime
Čia patogus keitinys t = (2x)4, dt = 64x3dx, nes ((2x)4)' = 64x3. Tada
[taisyti] Dalinis integravimas
Tarkime, kad funkcijos u(x) ir v(x) turi tolydžias išvestines. Tada:
Lygtis nesunkiai įrodoma prisiminus sandaugos diferenciavimo taisyklę:
Pavyzdys:
Čia u(x) = x, o v'(x) = ex.


















