Toras (geometrija)

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Toras arba toroidas geometrijoje yra sukimosi paviršius, kurį apibrėžia apskritimas, besisukantis aplink lygiagrečią jo plokštumai ir jo neliečiančią ašį. Torą galime gauti susukę ratu vamzdį ir sujungę jo galus. Automobilio rato forma irgi artima torui.

[taisyti] Geometrija

Parametrinėje formoje toras aprašomas lygtimis:

x(u, v) =  (R + r\cos{v}) \cos{u} \,
y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \,
z(u, v) = r \sin{v} \,

kur

u, v kinta intervale [0, 2π),
R yra atstumas nuo paties toro centro iki išlenkto vamzdžio, formuojančio toro paviršių, centro
r toro paviršių formuojančio vamzdžio spindulys.

Dekarto koordinatėse, simetriškam sukimuisi z ašies atžvilgiu toro lygtis bus

\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!

arba:

 (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2) . \,\!

Toro paviršiaus plotas ir vidinis tūris gaunami iš:

A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,
V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,

Bendresnis toro apibrėžimas leidžia, kad jo generatorius būtų ne tik apskritimas, bet ir elipsė arba net bet kuris kitas kūgio pjūvis.

[taisyti] Topologija

Toras - dviejų apskritimų topologinė sandauga
Toras - dviejų apskritimų topologinė sandauga

Topologiškai toras yra uždaras paviršius, apibrėžiamas kaip topologinė dviejų apskritimų sandauga: S1 × S1.

[taisyti] Nuorodos