Išvestinė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Išvestinėmatematinė funkcija, rodanti tam tikros funkcijos pokyčio tempą tam tikrame taške. Tai viena iš dviejų pagrindinių integralinio ir diferencialinio skaičiavimų savokų. Vaizduojant funkciją kaip dvimatį grafiką, išvestinė tam tikrame taške gali būti vaizduojama kaip liestinės tame taške krypties koeficientas. Išvestines turi ne visos funkcijos, pavyzdžiui, išvestinės neturi funkcijos su vertikalia liestine (krypties koeficientas lygus begalybei) ar netolydžios funkcijos, taip pat kai kurios tolydžios funkcijos.

Turinys

[taisyti] Apibrėžimas

Išvestinė apibrėžia dydžio y pokyti, kintant kitam dydžiui x. Naudojant Δ simbolį pokyčio užrašymui, išvestinę galima apibrėžti kaip santykio  \frac{\Delta y}{\Delta x} ribą, kai Δ x artėja į 0. Leibnico notacija tai užrašoma

 \frac{dy}{dx}

kur dy ir dx žymi be galo mažus dydžius. Formaliai dydžiai dy ir dx yra diferencialai, kurie nebūtinai yra be galo maži.

Tikslus išvestinės apibrėžimas:

y'=f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.

Čia x gali reikšti fizikoje laiką, o f(x) yra funkcija nusakanti nueitą kelią po tam tikro laiko x. Jei padalinsime f(x) iš x gausime vidutinį greitį taško, kuris nuėjo kelią nuo 0 iki f(x) (per laiko tarpą nuo 0 iki x). Išvestinė apskaičiuoja momentinį greitį laiko momentu x. Galima vietoje Δx parinkti labai mažą reikšmę ir apytiksliai apskaičiuoti tos ar kitos funkcijos išvestinę nedarant jokių transformacijų, bet tada nebus galima integruoti, o integruojant galima apskaičiuoti tai ką su elementariąja matematika reikėtų skaičiuotį labai ilgai (norint apskaičiuot tiksliai).

Funkcijos f išvestinė taške x gali būti užrašoma įvairiai:

 f'(x) \quad  \frac{d}{dx} f (x)  \frac{df}{dx}  D_x f \quad \dot{x}

Sakoma, kad funkcija taške x yra diferencijuojama, jei tame taške egzistuoja išvestinė. Funkcija diferencijuojama intervale, jei funkcija diferencijuojama kiekviename intervalo taške. Jei funkcija nėra tolydi taške x, ji nėra diferencijuojama tame taške.

Funkcijos išvestinė taip pat gali būti diferencijuojama. Išvestinės išvestinė vadinama antrine išvestine.

[taisyti] Išvestinių pavyzdžiai

Funkcijos f(x) liestinė taške x
Funkcijos f(x) liestinė taške x
  • Bendri atvejai:
    • \frac{\,d}{\,dx}\,C=0
    • \frac{\,d}{\,dx}x^n = nx^{n-1}.
  • Logaritminės funkcijos:
    • Natūrinio logaritmo ln x išvestinė – \frac{1}{x}.
    • \log_b x = \frac{1}{x\ln b}
  • Eksponentinės funkcijos:
    • \frac{\,d}{\,dx}ex = ex
    • \frac{d}{\,dx}a^x = a^x \ln a
  • Trigonometrinės funkcijos
    • \frac{\,d}{\,dx}\sin x=\cos x.
    • \frac{\,d}{\,dx}\cos x = -\sin x.
    • {d \over dx} \tan x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}.
    • \frac{\,d}{\,dx}\csc x = -\csc x\cot x.
    • \frac{\,d}{\,dx}\sec x = \sec x \tan x.
    • {d \over dx} \cot x = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x}.

[taisyti] n-tos eilės išvestinės

  • Bendri atvejai:
    • (xm)(n) = m(m − 1)(m − 2)(m − 3)...(mn + 1)xmn
    • (ax)(n) = axlnna
    • (ex)(n) = ex
  • Tiesinės trupmeninės funkcijos n-toji išvestinė:
    • (\frac{ax+b}{cx+d})^{(n)}=(ad-bc)(-1)^{n-1}n!(cx+d)^{-n-1}c^{n-1}
  • Sandaugos išvestinė sutampa su binomo formule, tik vietoje laipsnio rašoma išvestinė:
    • (uv)^{(n)}=u^{(n)}v + C^{1}_{n} u^{(n-1)}v' + C^{2}_{n} u^{(n-2)}v^{(2)} + C^{3}_{n} u^{(n-3)}v^{(3)} +\dots +  uv^{(n)}
  • Trigonometrijoje:
    • (\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2})
    • (\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\frac{\pi}{2})

kur (n) yra n-tos eilės išvestinė.

[taisyti] Susiję straipsniai