Furjė transformacija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Furjė transformacija - tam tikras tiesinis operatorius, transformuojantis funkcijas į kitas funkcijas. Tai užrašoma:

F(\omega)=\mathcal{F}(f)(t).

Egzistuoja keletas Furjė transformacijos variantų:

 X_1(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \ e^{-i \omega t}\, dt \ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} X_2(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} X_3 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right )\,

 X_2(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \ e^{-i \omega t} \ dt \ = \sqrt{2 \pi}\ X_1(\omega) = X_3 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right ) \,

 X_3(f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \ e^{-i 2 \pi f t} \ dt \ = \sqrt{2 \pi}\ X_1(2 \pi f) = X_2(2 \pi f)\,

Čia i - menamasis vienetas, o π - pi. Jei t reiškia laiką, tai f - dažnį, o ω = 2πf - kampinį dažnį.

Atitinkamai esama įvairių atvirkštinės Furjė transformacijos variantų:

 x(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} X_1(\omega) \ e^{i \omega t}\, d \omega \

 x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X_2(\omega) \ e^{i \omega t} \ d \omega \

 x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X_3(f) \  e^{i 2 \pi f t}\, df \


Kitomis kalbomis