Neapibrėžtinis integralas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

pirmykštės funkcijos apibrėžimo aišku, kad, jei funkcija bent turi vieną pirmykštę, tai jų yra be galo daug, o jos skiriasi tik konstanta. Visų funkcijos pirmykščių funkcijų aibė  \lbrace F(x) + C \; | \; C \in (-\infty, +\infty) \rbrace vadinama neapibrėžtiniu integralu ir žymima:

\int f(x) \mathsf{d}x = F(x) + C.

Čia:

neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukiančios savybės:

  •  \left( \int f(x)\mathsf{d}x \right) ' = f(x);
  •  \mathsf{d}\int f(x)\mathsf{d}x = f(x)\mathsf{d}x;
  •  \int \mathsf{d}F(x) = F(x) + C;
  •  \int (f(x) + g(x))\mathsf{d}x = \int f(x)\mathsf{d}x + \int g(x)\mathsf{d}x.

Matyti, kad integravimas yra uždavinys, atvirkščias diferenciavimui: integralas naikina diferencialą ir atvirkščiai.

Turinys

[taisyti] Pagrindinių neapibrėžtinių integralų lentelė

  • \int 0 \cdot dx=C
  • \int 1 \cdot dx=x+C
  • \int x^m \; dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C
  • \int \frac{1}{x} \; dx=\ln|x|+C
  • \int a^x \; dx=\frac{a^x}{\ln a}+C
  • \int e^x \; dx=e^x+C
  • \int \sin x \; dx=-\cos x+C
  • \int \cos x \; dx=\sin x+C
  • \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\arcsin x+C=-\arccos x+C
  • \int \frac{dx}{1-x^2} =\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C

[taisyti] Pavyzdžiai

\int 2x \; \mathsf{d}x =2\int x \; \mathsf{d}x=2 \frac{x^{1+1}}{1+1}+C = x^2 + C, nes \left(x^2 + C\right)' = 2x + 0 = 2x.

Sudėtingesni pavyzdžiai (be įrodymų):



  •  \int  \frac{\mathsf{d}x}{x^2-9} = \frac{1}{6} \ln  \frac{x-3}{x+3} + C.


  • \int \frac{\cos x \; \mathsf{d}x}{\sqrt{2 + \cos 2x } } = \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sqrt{3}} + C.
  • \int \frac{\mathsf{d}x}{\sqrt{{\left(9 - x^2\right)}^3}} = \frac{x}{9 \sqrt{9 - x^2}} + C.

[taisyti] Susiję straipsniai

[taisyti] Išorinės nuorodos