Извод од производ
Од Википедија, слободна енциклопедија
| Статии поврзани со математичката анализа |
|
Основна теорема на анализата |
| Диференцијално сметање |
|
Извод од производ |
| Интегрално сметање |
|
Таблица на основни интеграли |
При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир или разлика е: извод од збир (разлика) е збир (разлика) на изводи, што не е случај со производот.
Содржина |
[уреди] Како се бара извод од производ на две функции?
Тврдењето ќе го дадеме формално, во вид на теорема:
Нека
и
се реални функции од една променлива, определени на интервалот
и диференцијабилни во точка
. Тогаш и нивниот производ
е диференцијабилен во точката
и при тоа важи:
Дополнително ако посочените функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот
, тогаш и нивниот производ е диференцијабилен на целиот интервал и формално се бележи:
[уреди] Доказ
Ќе дадеме и формален доказ. Нека се исполнети условите на теоремата, т.е. нека постојат изводите на функциите
и
во точката
. Тогаш, според дефиницијата на извод имаме:
Бидејќи по дефиниција:
, имаме:
Со тоа доказот е завршен.
[уреди] Случај со повеќе од две функции
Кога веќе го покажавме правилото за две функции, лесно ќе го прошириме на три, четири и повеќе.
Нека се зададени функции
и нека претпоставиме дека сите се диференцијабилни во некоја точка
. Тогаш имаме:
- Извод од производ на три функции во точка
:
- Извод од производ на четири функции во точка
:








![\ (fgh)^\prime = [f(gh)]^\prime = f^\prime (gh) + f(gh)^\prime = f^\prime gh + f(g^\prime h + gh^\prime) = f^\prime gh + fg^\prime h + fgh^\prime \,\,\,\blacksquare](../../../math/7/1/5/715447a6b6055c8d87ad15d399627604.png)
![\ (fghk)^\prime = [f(ghk)]^\prime = f^\prime (ghk) + f (ghk)^\prime = f^\prime ghk + f(g^\prime hk + gh^\prime k + ghk^\prime) =](../../../math/6/f/7/6f744f9760d249b81eecc290d91e1893.png)


