Математичка логика - Википедија

# Математичка логика

### Од Википедија, слободна енциклопедија

Математичка логика е поле во математиката. Се дели на теорија на моделите, доказна теорија, теорија на множествата и теорија на рекурзијата. Истражувањата во математичката логика имаат допринесено кон, и се мотивирани од, изучувањето на основите на математиката, но во математичката логика спаѓаат и области од чистата математика кои не се директно поврзани со основни прашања.

Заедничка тема во математичката логика е изучувањето на експресивната моќ на формалната логика и формалните доказни системи. Оваа моќ се мери по тоа што овие формални системи можат да докажат и по тоа што можат да дефинираат.

Претходно математичката логика се нарекувала симболичка логика (наспроти философска логика) и метаматематика. Првоаведениот термин сеуште се користи (како кај Здружението за симболичка логика), а второнаведениот термин се користи за извесни аспекти од доказната теорија.

## [уреди] Историја

Називот математичка логика го измислил Џузепе Пеано, кој и го дал на симболичката логика. Во нејзината класична верзија, основните концепти личат на оние на Аристотел, но напишани со симбоичка нотација наместо природен јазик. Некои од пофилософските математичари како Лајбниц и Ламберт направиле обиди за третирање на операциите во формалната логика на симболички или алгебарски начин; но нивните трудови биле малку познати и изолирани. Кон средината на XIX век Џорџ Бул и потоа Огастес Де Морган претставиле систематички математички начин на гледање на логиката. Традиционалната Аристотелова логичка доктрина била реформирана и довршена; и од неа произлегол адекватниот инструмент за истрага во фундаменталните концепти на математиката. Би било збунувачки да се каже дека основните полемики во периодот 1900–1925 се решиле сите до една; но философијата на математиката била мошне разјаснета со оваа „нова“ логика.

Додека грчкиот развој во логиката (видете листа на теми во логиката) остро ги нагласувал формите на аргументи, ставот на моменталната математичка логика може накратко да се опише како комбинаторичко изучување на содржина. Тука спаѓаат како синтаксичките (на пример праќање на низа формален јазик на компилаторска програма да го напише како секвенца инструкции за машината), така и семантичките (конструирање на конкретни модели или цели множества од нив, во теоријата на моделите). Ова изучување на математиката однадвор се нарекува метаматематика.

Некои дела од клучно значење се Поимовно писмо од Готлоб Фреге, Студии во логиката од Чарлс Парс, Приципија Математика од Бертранд Расел и Алфред Норт Вајтхед и За формално нерешителните тврдења на Принципија Математика и сродните системи од Курт Гедел.

## [уреди] Формална логика

Во нејзината срж, математичката логика се занимава со со математички концепти изразени по пат на формални логички системи. Системот на логиката од прв ред е најшироко изучуваниот заради неговата применливост во основите на математиката и заради неговите пожелни својства. Се изучуваат и посилните класична логики како логиката од втор ред или бесконечносната логика, заедно со некласичните логики како интуиционистичката логика.

## [уреди] Полиња на математичката логика

Книгата Прирачник за математичката логика (Handbook of Mathematical Logic) (1977) ја дели математичката логика на четири дела:

- Теорија на множествата е изучувањето на множествата, кои се апстрактни збирови на предмети. Основните концепти на теоријата на множествата како подмножеството и релативно дополнение често се нарекуваат наивна теорија на множествата. Современото истражување се одвива во областа на аксиоматската теорија на множествата, која користи логички методи за изулување на тоа кои тврдења се докажливи во разни формални теории како Цермело-Франкеловата теорија на множествата или Новите основи.

- Доказна теорија е изучувањето на формалните докази на разните логички дедукциони сситеми. Овие докази се претставени како формални математички предмети, упростувајќи ја нивната анализа со математички техники. Фреге работел на математички докази и го формализирал поимот „доказ“.

- Теорија на моделите е изучувањето на моделите на разни формални теории. Множеството од сите модели на дадена теорија се нарекува елементарна класа; класичната теорија на моделите се стреми кон одредување на својствата на моделите на дадена елементарна класа, или да одреди дали извесни класи на структури сочинуваат елементарни класи. Со цел да се покаже дека моделите на дадени теории неможат да бидат премногу комплицирани се користи методата на елмининација на квантификатори.

- Теорија на рекурзијата, наречена и теорија на пресметливоста, е изучувањето на својствата на пресметливите функции и Тјуринговите степени, кои ги делат непресметливите функции во множества кои имаат исто ниво на непресметливост. Во теоријата на рекурзијата исто така спаѓа и изучувањето на генерализирана пресметливост и дефинитивност.

Границите помеѓу овие полиња, како и помеѓу математичката логика и другите полиња на математиката, не секогаш се рески; на пример, Геделовата теорема за непотполноста не е само клучна во теоријата на рекурзијата, и во доказната теорија, туку исто така довела до Лебовата теорема, која е важна во модалната логика. Математичкото поле на теоријата на категориите користи многу формални анксиоматски методи слични на оние користени кај математичката логика, но теоријата на категориите обично не се смета за поле на математичката логика.

## [уреди] Поврзаност со информатиката

Постојат многу врски помеѓу математичката логика и информатиката. Многу од раните пионери на информатиката како Алан Тјуринг, биле исто така математичари и логичари.

Изучувањето на теоријата на пресметливоста во информатиката е во блиско сродство со изучувањето на пресметливоста во матерматичката логика. Мешутоа постои и разлика на нагласок. Computer scientists often focus on concrete programming languages and feasible computability, while researchers in mathematical logic often focus on computability as a theoretical concept and on непресметливост.

Изучувањето на семантиката на програмскиот јазик е сродно со теоријата на моделите, како што е програмска верификација (поконкретно проверка на модели). Кари-Хавардовиот изоморфизам помеѓу доказите и програмите е сроден на доказната теорија; интуиционистичката логика и линеарната логика тука играат важна улога. Пресметките како Ламбда-сметањето и комбинаторичката логика денес се изучуваат главно како идеализирани програмски јазици.

Информатиката исто така придонесува кон математиката со развој на техники за автоматска проверка, па дури и изнаоѓање на докази како автоматското докажување на теореми и логичкото програмирање.

## [уреди] Пионерски подвизи

- Левенхајм–Сколемовата теорема (1919) покажала дека ако множество реченици во избројлив јазик од прв ред има бесконечен модел, тогаш има најмалку еден модел од секоја бесконечна кардиналност.
- Геделовата теорема на потполноста (1929) ја воспоставила еквиваленцијата помеѓу семантичките и синтаксните дефицинии на логичката последователност во логиката од прв ред.
- Геделовата теорема за непотполноста (1931) покажала дека ниеден достатно силен формален систем може да ја докаже сопствената доследност.
- Алогаримтмичката нерешливост на проблемот на одлучувањето, основан независно од Алан Тјуринг и Алонзо Черч во 1936, покажала дека ниеден компјуерски програм не може да се користи за точно одлучување дали произолните математички искази се вистинити.
- Независноста од континуумската хипотеза од Цермело-Франкеловата теорија на множествата (ЦФТМ) покажала дека елементарниот доказ или побивање на оваа хипотеза е невозможно. Фактот што континуумската хипотеза е доследна на ЦФТМ (ако самата ЦФТ е доследна) е докажан од Курт Гедел во 1940. Фактот што негацијата на континуумската хипотеза е доследна со ЦФТМ (ако ЦФТМ е доследна) бил докажан од Пол Коен во 1963.
- Алогаритмичката нерешливост на Десеттиот Хилбертов проблем, основан од Јуриј Матијасевич во 1970, покажала дека е невозможно било кој компјутерски програм точно да реши дали повеќеваријантните полиноми со коефициенти од цел број воопшто имаат корени од цел број.

## [уреди] Видете исто така

- Теорема
- Лист на теми во математичката логика
- Листа на теми од пресметливоста и комплексноста
- Листа на теми од теоријата на множествата
- Листа на теории од прв ред

## [уреди] Наводи

- Andrews, Peter B., 2002. An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth Through Proof, Второ изд. Kluwer Academic Publishers.
- Barwise, Jon, Едиц. (1977) Handbook of Mathematical Logic, Amsterdam: North-Holland.
- George Boolos, John Burgess, и Richard Jeffrey (2002) Computability and Logic, Четврто изд. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00758-5.
- Enderton, Herbert (2002) A mathematical introduction to logic, Второ изд. Academic Press.
- Hamilton, A. G. (1988) Logic for Mathematicians Cambridge University Press.
- Wilfrid Hodges, 1997. A Shorter Model Theory. Cambridge University Press.
- Mendelson, Elliott (1997) Introduction to Mathematical Logic, Четврто изд. Chapman & Hall.
- A. S. Troelstra & H. Schwichtenberg (2000) Basic Proof Theory, Второ изд. (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science). Cambridge University Press. ISBN 0-521-77911-1.

Главни полиња на математиката | Уредете
Алгебра | Апстрактна алгебра | Линеарна алгебра | Анализа | Функционална анализа | Нумеричка анализа | Виша анализа | Геометрија | Диференцијални равенки | Теорија на категориите | Комбинаторика | Алгебарска геометрија | Логика | Оптимизација | Статистика | Теорија на броевите | Теорија на множествата | Веројатност | Топологија | Алегебарска топологија

Преземено од "http://mk.wikipedia.org../../../%D0%BC/%D0%B0/%D1%82/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0.html"

Категорија: Математичка логика

##### Views

- Статија
- Разговор
- Тековна верзија

##### Пребарај

##### Други јазици

- العربية
- Беларуская
- Беларуская (тарашкевіца)
- Български
- Bosanski
- Česky
- Deutsch
- Ελληνικά
- English
- Esperanto
- Español
- Eesti
- فارسی
- Français
- Gàidhlig
- עברית
- Hrvatski
- Magyar
- Italiano
- 日本語
- ქართული
- Líguru
- ‪Norsk (bokmål)‬
- Polski
- Русский
- Slovenčina
- Slovenščina
- Shqip
- Svenska
- ไทย
- Tagalog
- Türkçe
- Українська
- 中文