Equipoténcia - Wikipèdia

# Equipoténcia

### Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.

En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles E e F son equipotents e se nòta E ≈ F, s'existís una bijeccion . Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.

## [Modificar] Proprietats de l'equipoténcia

L'equipoténcia a lei proprietats seguentas :

- es reflexiva : per tot ensemble E, E ≈ E (existís aumens una bijeccion de E vèrs E : l'aplicacion identica de E)

- es simetrica : estent dos ensembles E e F, se E ≈ F, alora F ≈ E (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion ; alora la recipròca f − 1 es una bijeccion )

- es transitiva : estent tres ensembles E, F e G, se E ≈ F e F ≈ G, alora E ≈ G (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion e una bijeccion ; alora la compausada es una bijeccion)

Aiçò pròva que dins tot ensemble d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de .
Per exemple, se es l'ensemble dei partidas d'un ensemble Ω, l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins .

Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.

## [Modificar] Teorèma de Cantor-Bernstein

Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :

Estent dos ensembles E e F, s'existisson doas injeccions e , alora E ≈ F.

## [Modificar] Exemples e còntra-exemples

- L'ensemble deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí , son equipotents : l'aplicacion es bijectiva

- Cas deis intervals de l'ensemble dei nombres reaus.
  - Sián dos reaus a, b taus que a < b, e leis intervals
    ,
    ,
    - Leis intervals e son equipotents : l'aplicacion es bijectiva.
    - Parierament, leis intervals e (o encara e ...) son equipotents.
  - Leis intervals e son equipotents :
    - l'aplicacion es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica)
    - l'aplicacion es injectiva
    - l'equipoténcia de e es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein
  - Leis intervals e son equipotents :
    l'aplicacion es bijectiva.
  - En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.

- Estent un ensemble Ω , l'ensemble de sei partidas es equipotent a l'ensemble dei foncions .
  Per o provar, s'associa en tota partida A de Ω sa foncion caracteristica .
  Es definida ansin : per tot element x de Ω , χA(x) = 1 se e χA(x) = 0 se .
  L'aplicacion es bijectiva : se f es una foncion e se se definís , es clar que A es la soleta partida de Ω tala que χA = f .

- Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble deis entiers naturaus es pas equipotent a l'ensemble dei reaus.
  Pus generalament, existís ges d'ensemble Ω que siá equipotent a l'ensemble de sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion es jamai subrejectiva).

## [Modificar] Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinits

### [Modificar] Ensembles equipotents a un ensemble finit

Se E es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a E son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que E.

### [Modificar] Ensembles equipotents a un ensemble infinit

Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).

## [Modificar] Vejatz tanben

- bijeccion
- nombre cardinau
- teoria deis ensembles

Recuperat(ada) de "http://oc.wikipedia.org../../../e/q/u/Equipot%C3%A9ncia.html"

Categoria: Teoria deis ensembles

##### Views

- Article
- Discussion
- Version actuala

##### Recercar

##### Autras lengas

- Български
- Català
- English
- Français
- Hrvatski
- Српски / Srpski
- 中文